Direkte Summe

12.12.2010, 21:23

Theta

Direkte Summe

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Hab eigentlich nur ne kurze Frage zur Schreibweise. Nun Sei V ein Vektorraum über K und seien U,W Unterräume. Nun um zu beweisen, dass die Direkte Summe ergeben, muss ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} U+W=\{v=u+w\} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} U\cap W={0} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nun zur Schreibweise, die ich nicht ganz nachvollziehen kann: $\begin{eqnarray*} U+W \end{eqnarray*}$ Summe aus Unterräumen?, muss es nicht $\begin{eqnarray*} U\cup W \end{eqnarray*}$ heißen?
Grüße

12.12.2010, 23:30

Mulder

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RE: Direkte Summe
Nein, das sind unterschiedliche Dinge. Die Vereinigung von U und W:

$\begin{eqnarray*} U \cup W = \{x \, \big \vert \, (x \in A) \vee (x \in W) \} \end{eqnarray*}$

beschreibt einfach die Menge aller Vektoren, die entweder in U oder in W enthalten sind. Die Summe U+W hingegen ist die Menge aller Vektoren, die eine Darstellung u+w besitzen, also sich als Summe je eines Elemente aus U und eines Elementes aus W schreiben lassen:

$\begin{eqnarray*} U+W = \{u+w \, \big \vert \, u \in U , w \in W \} \end{eqnarray*}$

13.12.2010, 14:55

Theta

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RE: Direkte Summe
Ok aber noch ne kurze Frage: daraus würde doch auch folgen, dass U eine Teilmenge von W ist oder umgekehrt je nach dem
Grüße

13.12.2010, 17:38

Mulder

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RE: Direkte Summe

Zitat:

Original von Theta
Ok aber noch ne kurze Frage: daraus würde doch auch folgen, dass U eine Teilmenge von W ist oder umgekehrt je nach dem

Was?

13.12.2010, 18:34

Evelyn89

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RE: Direkte Summe

Zitat:

Original von Theta
Ok aber noch ne kurze Frage: daraus würde doch auch folgen, dass U eine Teilmenge von W ist oder umgekehrt je nach dem
Grüße

Überleg dir mal einfaches Gegenbeispiel warum das nicht so ist.
Also bei einer direkten Summe kann das schon mal natürlich nicht sein, wegen $\begin{eqnarray*} U \cap W=\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Und dann müsste $\begin{eqnarray*} U=\left\{ 0\right\} \text{ oder } W=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ sein.

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