Tschebyscheff Polynome zweiter Art

13.12.2010, 15:02

DerJFK

Tschebyscheff Polynome zweiter Art

Aufgabe

$\begin{eqnarray*} $U_0(x):=1$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $U_1(x) := 2x$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $U_{n+1}(x):= 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$ \end{eqnarray*}$

Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} $U_n(\cos(\phi)) = \frac {\sin((n+1)\phi)}{\sin (\phi)}$ \end{eqnarray*}$ ist

Ideen und Fragen

Ich versuche immer noch einen Weg zu finden wie ich das ganze angehen soll. Habe in einem Buch gefunden, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} $\cos((n+1)\phi)=2 \cos(\phi) \cdot \cos(n \phi) - \cos((n-1)\phi$ \end{eqnarray*}$

Diese Umformung haben ich auch verstanden, damit weiß ich dann wohl auch dass gilt
$\begin{eqnarray*} $U_n (\cos (\phi)) = \cos(n \phi)$ \end{eqnarray*}$

nur wie kommt man dann auf $\begin{eqnarray*} $U_n(\cos(\phi)) = \frac {\sin((n+1)\phi)}{\sin (\phi)}$ \end{eqnarray*}$ ? Hoffe mir kann jemand ein paar tipps geben.

Danke und Gruß

13.12.2010, 15:37

Cugu

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Zitat:

damit weiß ich dann wohl auch dass gilt $\begin{eqnarray*} U_n (\cos (\phi)) = \cos(n \phi) \end{eqnarray*}$

Nein, das ist falsch. Die Rekursionsformel wird zwar erfüllt, aber es würde $\begin{eqnarray*} U_1 (\cos (\phi)) = \cos( \phi)\neq 2\cos( \phi) \end{eqnarray*}$ gelten.

Du solltest die Additionstheoreme anwenden, um $\begin{eqnarray*} $U_n(\cos(\phi)) = \frac {\sin((n+1)\phi)}{\sin (\phi)}$ \end{eqnarray*}$ umzuschreiben.
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...ditionstheoreme)
Und dann prüfst du, ob die 3 Bedingungen $\begin{eqnarray*} $U_0(x)=1$ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} $U_1(x) = 2x$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $U_{n+1}(x)= 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$ \end{eqnarray*}$ erfüllt sind.

13.12.2010, 18:07

DerJFK

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folgendes habe ich nun mal umgestellt:

$\begin{eqnarray*} $\sin((n+1)\phi) = \sin(n\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(n\phi)$ \end{eqnarray*}$

wenn ich das nun einsetze steht da:

$\begin{eqnarray*} $U_n(\cos(\phi))=\frac {\sin(n\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(n\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

nur ich sehe nicht wie ich das prüfen kann unglücklich

13.12.2010, 18:42

Cugu

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Rein Formal ist eine Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durchzuführen.
$\begin{eqnarray*} $U_0(\cos(\phi)) = 1 = \frac {\sin(\phi)}{\sin \phi)}=\frac {\sin((0+1)\phi)}{\sin (\phi)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $U_1(\cos(\phi)) = 2\cos(\phi) = \frac {\sin(2\phi)}{\sin \phi)}=\frac {\sin((1+1)\phi)}{\sin (\phi)} \end{eqnarray*}$

Nun der Induktionsschritt...

14.12.2010, 10:07

DerJFK

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genau hier liegt glaub ich mein Problem, weil ich habe mir nochmal alle Additionstheoreme angeschaut, nur wie kommt auf die umformung?

$\begin{eqnarray*} $2 \cos(\phi) = \frac {\sin (2\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

deshalb habe ich auch auf versucht die andere umformung oben zu machen, weil ich diese umformung nicht gefunden habe :/

14.12.2010, 12:23

Cugu

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"Die andere Umformung" hat nur blöderweise mit der Aufgabenstellung nichts zu tun...

Wie wäre es denn, wenn du in $\begin{eqnarray*} $\sin((n+1)\phi) = \sin(n\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(n\phi)$ \end{eqnarray*}$ einfach mal $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ setzt...

14.12.2010, 15:28

DerJFK

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IV:

$\begin{eqnarray*} $U_0(\cos(\phi)) = \frac {\sin(\phi)}{\sin(\phi)}= 1$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $U_1(\cos(\phi)) = \frac {\sin(2\phi)}{\sin(\phi)}=\frac {\sin(\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(\phi)}{\sin(\phi)} = 2\cos(\phi)$ \end{eqnarray*}$

IA:

Gilt für $\begin{eqnarray*} $U_n:= \frac {\sin((n+1)\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $U_{n-1}:= \frac {\sin(n\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} $U_{n+1} (\cos(\phi))= 2\cos(\phi) \cdot U_n(\cos(\phi)) - U_{n-1} (\cos(\phi)) \overset{\text{IA}}{=} 2\cos(\phi) \cdot \frac {\sin((n+1)\phi)}{\sin(\phi)} - \frac {\sin(n\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $=2\cos(\phi) \cdot \frac {\sin(n\phi)\cos(\phi)+\sin(\phi)\cos(n\phi)}{\sin(\phi)} - \frac {\sin(n\phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $=\frac {2 \cos^2(\phi) \sin(n\phi)}{\sin(\phi)} + \underbrace{2 \cos(\phi)}_{= \frac {\sin(2\phi)}{\sin(\phi)}} \cos(n\phi) - \frac {\sin(n \phi)}{\sin(\phi)}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $= \frac 1{\sin(\phi)}\cdot (2 \cos^2(\phi)\sin(n \phi) - \sin(n\phi)+ \sin(2\phi)\cos(n\phi) )$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $= \frac 1{\sin(\phi)}\cdot (\sin(n \phi)\cdot (2 \cos^2(\phi) - 1)+ \sin(2\phi)\cos(n\phi) )$ \end{eqnarray*}$

Nun steht ich vor dem Problem, dass ich $\begin{eqnarray*} $2 \cos^2(\phi) - 1$ \end{eqnarray*}$ nur noch in $\begin{eqnarray*} $\cos(2\phi)$ \end{eqnarray*}$ umformen müsste und schon wäre ich fertig? nur wie kann ich das umformen oder habe ich mich schon vorher irgendwo verrechnet?

14.12.2010, 15:31

DerJFK

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mir ist es im moment danach eingefallen smile

$\begin{eqnarray*} $\cos(2\phi) = \cos^2(\phi) - \sin^2(\phi) = \cos^2(\phi)-1+\cos^2(\phi) = 2\cos^2(\phi)-1$ \end{eqnarray*}$

okay und damit habe ich dann bewiesen, dass es auch für n+1 gilt

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