Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum (allgemein)

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TimoB Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum (allgemein)
Meine Frage:
Es sei V ein K-Vektorraum. Ist U ein Untervektorraum von V und sind linear unabhängige Vektoren in , dann sind auch linear unabhängige Vektoren in V.

Meine Ideen:
So das ist meine Idee:

Seien linear abhängig, dann gibt es eine nichttriviale Linearkombination:



Aus der letzten Gleichung ergibt sich somit dass genau dann linear abhängig sind wenn linear abhänig sind. Daraus folgt dass genau dann linear unabhängig sind wenn linear unabhänig sind.

Jetzt weiß ich nicht wirklich ob man das so machen kann, erstens weil ich nicht weiß ob der letzte Schritt wo ich einfach die Tilden weglasse so zulässig ist und zweitens weil ich von abhängig abhängig auf unabhängig unabhängig schließe, da ich ja nicht direkt beweise?

Danke
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum (allgemein)
Was ich vergessen habe zu sagen, die Aussage in der Aufgabenstellung kann auch unwahr sein, dann soll man das durch ein Gegenbeispiel zeigen. Vielleicht kann mir ja jetzt jemand helfen?
LG Timo smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit im Vektorraum (allgemein)
Wenn die Aussage stimmt, haben beide Vektorräume und V die gleiche Dimension, wie müsste dann U ausschauen?
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste dann gelten ? Zum Beispiel wenn ich den R³ hab dann hat der ja die Dimension 3 und wenn V/U die selbe Dimension hat dann ??? Ich weiß nicht was mir die Dimension von V/U über V/U aussagt. Und was mir die Dimensionen von V und V/U über U aussagen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal existiert ein Vektorraumhomomorphismus von V nach V/U ?

Wenn du diesen konstruiert hast schaue nach, ob er bijektiv ist (dazu kann man die Dimension gebrauchen).
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Funktion die die Äquivalenzklasse von dem jeweiligen x-Wert bildet? Das würde dann so aussehen:




und da ist, ist die Funktion auch injektiv, nur surjektiv zu zeigen ist ein Problem
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eher den Homomorphismus auf Bijektivität zu überprüfen......
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das sollte ja meine Funktion machen. Ich habe in der Gleichung nur gezeigt das die Funktion einen lineare Abbildung, also ein Vektorhomomorphismus ist. Dann habe ich gezeigt dass sie injektiv ist. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die Surjektivität zeige. Wenn sie nämlich in- und surjektiv ist, ist sie ja auch bijektiv.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Bijektivität nachzuweisen kann man die Dimension benutzen, überlege, ob ein Vektorraumhomomorphismus zwischen zwei Vektorräumen gleicher Dimension nicht bijektiv sein kann.
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke dass dieser Vektorraumhomomorphismus bijektiv ist, da V genau die selben Elemente wie enthält, nur dass in noch eine Tilde drüber steht. Und da alle Elemente linear unabhängig sind, geht auch von jedem eine eindeutige Verbindung zurück zu einem v. Da dann nur ein einziges Element enthält.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TimoB
Ich denke dass dieser Vektorraumhomomorphismus bijektiv ist, da V genau die selben Elemente wie enthält, nur dass in noch eine Tilde drüber steht..

geschockt die beiden Vektorräume enthalten doch nicht die selben Elemente, es ist doch . Deine Aussage gilt nur, wenn U der Vektorraum ist, der nur den Nullvektor enthält.


Zitat:
Original von TimoB
Und da alle Elemente linear unabhängig sind, geht auch von jedem eine eindeutige Verbindung zurück zu einem v. Da dann nur ein einziges Element enthält.


Darüber solltest du auch noch mal nachdenken, zuerst einmal sind nicht alle Elemente linear unabhängig, sondern nur die Basiselemente, jedes andere Element der beiden Vektorräume ist darstellbar als Linearkombination der Basiselemente.

Zitat:
Original von TimoB
Da dann nur ein einziges Element enthält.

unglücklich Was willst du damit sagen enthält nur ein Element?
ist ein Element von .


Es stimmt, dass die beiden Isomorph zueinander sind.
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, da hab ich ja einiges verbockt traurig

Mit dem enthält nur ein Element wollte ich sagen, dass es kein anderes gibt für das gilt w ~ v, aber mir ist nach deinen Ausführungen sowieso klar geworden dass das auch quatisch ist, weil ja auch aus den Basisvektoren weitere Vektoren gemacht werden die ja dann auch in sein können.

Ich hab aber immer noch keine Idee wie ich mit dem Wissen das beide die selbe Dimension haben (da gleiche Basis) zeigen kann dass das ein Isomorphismus ist bzw. dass die Funktion auf V und bijektiv ist.

Wie lautet denn der Ansatz?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Ansatz, die Dimension ist gleich, man kann also jedes Basiselement des einen Vektorraums eindeutig einem Basislement des anderen Vektorraums zuordnen, in beide Richtungen, also Isomorph.
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Ok damit ist also gezeigt dass es einen Vektorraumhomomorphismus von V nach V/U gibt falls die Behauptung die wir beweisen sollen stimmt und wie bringt uns das jetzt weiter?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn jetzt noch zeigen?
sind linear unabhängig, also bilden sie eine Basis eines Unterraums von V/U.

Nun haben wir einen Isomorphismus konstruiert, der jedem Element dieses Unterraums von V/U ein Element des gleichdimensionalen Untervektorraums von V zuweist, dessen Basis ist.

Wenn aber eine Basis eines Unterraums von V ist, dann sind die Vektoren auch in V linear unabhängig.

Edit: mir ist auch gerade noch was viel einfacheres eingefallen:

sind linear unabhängig, also hat das LGS nur die trivialen Lösungen .

Mit ist

Diesen ansatz kann man dann weiter verfolgen.
TimoB Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok ich glaub ich habs verstanden! smile
Vielen Dank für deine geduldige Hilfe Freude
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