Beweis mit Eulerscher Zahl

14.12.2010, 14:10

alex2007

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Beweis mit Eulerscher Zahl

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} s_n:=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty } s_n\, \end{eqnarray*}$ die Eulersche Zahl.

a) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} |e- s_n| \leq \frac{1}{n \cdot n!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Hinweis: Abschätzung mit einer geeigneten geometrischen Reihe.

b)Bestimmen sie mit Hilfe von a) eine Zahl $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |e- s_n| \leq 0,5 \cdot 10^{-4} \end{eqnarray*}$ und berechnen sie $\begin{eqnarray*} s_N \end{eqnarray*}$ .

c) Zeigen Sie, dass e irrational ist.
Hinweis: Widerspruchsbeweis, a) benutzen.

Meine Ideen:
b)
$\begin{eqnarray*} 0,5 \cdot 10^{-4}\geq \frac{1}{N \cdot N!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N \cdot N! \geq 20000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow N=7 \end{eqnarray*}$ , da Bedingung ab 7 erstmals erfüllt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow s_N =\sum\limits_{k=0}^7 \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_N= 1+ 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{6}+ \frac {1}{24} + \frac {1}{120} + \frac {1}{720}+ \frac {1}{5040}=\frac {5040 + 5040 + 2520 + 840 + 210 + 42 + 7 + 1} {5040} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_N= \frac {13700} {5040} \end{eqnarray*}$

a) hier weis ich nicht so recht, wie ich hier mittels einer geometrischen reihe abschätzen soll. heißt das ich soll die rechte seite der ungleichung mittels einer reihe abschätzen und die reihen, die dann links und rechts stehen vergleichen? ich wäre ich für nen Denkansatz dankbar.

c) Widerspruchsbeweis heißt ja, dass ich offensichtlich annehmen soll, dass e eine rationale Zahl ist. Aber wie zeige ich, das eine Zahl keine Rationale Zahl ist? Hier fällt mir nur ein, das rationale Zahlen ja Intervallschachtelungen sind. Soll ich also zeigen, dass e keine Intervallschachtelung sein kann? wie stell ich das an?

14.12.2010, 14:49

system-agent

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Es gilt zum Beispiel, dass $\begin{eqnarray*} k!\geq 2^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ [zb via vollständiger Induktion]. Also gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!}\leq\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ . Das könnte dir in (a) helfen.

14.12.2010, 21:52

alex2007

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Ok, erstmal danke dafür. sowas ähnliches dachte ich mir auch schon. allerdings hab ich damit immernoch ein verständnis problem. mit deiner abschätzung könnte ich ja folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{k!} \leq \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{2^k} \end{eqnarray*}$

und damit wäre $\begin{eqnarray*} s_n \leq \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{2^k} \, \forall k\geq4 \end{eqnarray*}$

ich soll ja aber $\begin{eqnarray*} e-s_n \end{eqnarray*}$ (wird sowieso immer positiv, da e ja der grenzwert ist, deswegen betragsstricheüberflüssig) abschätzen. deswegen weis ich nicht so recht, was ich jetzt damit anfangen soll

Also ich hab das jetzt so verstanden:

ich brauche eine geometrische reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k} \end{eqnarray*}$ , für die gilt:

$\begin{eqnarray*} e - s_n\leq \sum\limits_{k=0}^n a_{k} \leq \frac{1}{n \cdot n!} \end{eqnarray*}$

richtig? oder tappe ich hier im dunkeln?

16.12.2010, 00:38

alex2007

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Ah, ich glaube ich habe eine Idee.

es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{k!} \leq \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{2^k} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} s_n \leq \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{2^k} \, \forall k\geq4 \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } s_n = e \Rightarrow s_n \leq e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e - s_n \leq e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e -s_n \leq \sum\limits_{k=4}^n \frac {1}{2^k} \end{eqnarray*}$

Ist diese Schlussfolgerung richtig?

Allerdings gilt das ja dann nur für alle k >=4 oder? jemand noch nen tipp dazu oder geht das so?

16.12.2010, 19:27

alex2007

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Ich hab noch ne andere überlegung.

$\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty } s_n \Rightarrow e=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

deweiteren folgt: $\begin{eqnarray*} e-s_n >0 \forall n>0\Rightarrow | e-s_n |= e-s_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e-s_n =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} - \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

da wir nun vorrausgesetzt haben, dass $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ , können wir unser kleinstmögliches n $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} s_1= 1+1=2 \end{eqnarray*}$

daraus können wir mit $\begin{eqnarray*} e =2,71... \end{eqnarray*}$ schlussfolgern, dass:

$\begin{eqnarray*} e - s_n< 1 \end{eqnarray*}$

offensichtlich gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{1}{n \cdot n!} \, \forall n>0 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} e - s_n< 1 \leq \frac{1}{n \cdot n!} \Rightarrow e-s_n\leq \frac{1}{n \cdot n!} \,\,\forall n>0 \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Ist diser Beweis formal korrekt? Ich habe keine geometrische Reihe zur Abschätzung verwendet, ist das ein Problem oder ist das in der Aufgabe nur ein Lösungsvorschlag? Was wäre eine mögliche geometrische reihe, die <= der rechten weite und >= der linken ist?

16.12.2010, 19:51

alex2007

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zu c)

ich soll ja zeigen, das $\begin{eqnarray*} e \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zuerst mal gilt ja $\begin{eqnarray*} e=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac {1}{k!} = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass wenn e rational (endlich gebrochen) sein soll, dann muss ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ existieren, für dass das Folgenlied $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ den Wert 0 annimmt.

Beweis:

Annahme: $\begin{eqnarray*} e \in\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists k: a_k=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k =\frac {1}{k!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=0 \Rightarrow \, Widerspruch \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Annahme ist falsch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow e \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ist das formal korrekt mit der Vorraussetzung, das ein Folgenglied 0 sein muss?

Ich merke gerade, es muss natürlich noch gezeigt werden, dass die reihe konvergiert gegen 0, oder? Sonst könnte die folge ja auch monoton steigend sein und bei 0 beginnen. Oder sehe ich das falsch. also muss ich noch die kongerenz der reihe gegen 0 zeigen, richtig?

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16.12.2010, 22:13

alex2007

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ich komme bei a) einfach auf keine geometridche reihe, die ich zur abschätzung nehmen kann. hat denn niemand eine idee???

16.12.2010, 22:16

René Gruber

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Vielleicht mal zur Anregung: Es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)(n+1)\cdot n! \geq (n+1)^2\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)\cdot n! \geq (n+1)^3\cdot n! \end{eqnarray*}$

...

16.12.2010, 22:21

alex2007

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Zitat:

Original von René Gruber
Vielleicht mal zur Anregung: Es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+2)! = (n+2)(n+1)\cdot n! \geq (n+1)^2\cdot n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+3)! = (n+3)(n+2)(n+1)\cdot n! \geq (n+1)^3\cdot n! \end{eqnarray*}$

...

Ja diese rechnungen kann ich nachvollziehen und die sind mir auch klar, nur weis ich immernoch nicht, wie ich daraus ne geometrische folge ableiten soll, die kleiner als
1/(n * n!) ist verwirrt

verwirrt

16.12.2010, 22:25

René Gruber

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Vielleicht versuchst du ja mal, das für alle großen Fakultäten zu verallgemeinern und dann mal in den Reihenrest

$\begin{eqnarray*} e-s_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

einzusetzen?

16.12.2010, 22:43

alex2007

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ok, also meine verallgemeinerung wäre:

$\begin{eqnarray*} (n +i)! \geq (n+1)^i \cdot n! \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt das reziproke betrachte folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{(n +i)!} \leq \frac {1}{(n+1)^i \cdot n!} \end{eqnarray*}$

für die jeweiligen Summen gilt dann logischer weise das selbe.

Es gilt für den Reihenrest:

$\begin{eqnarray*} e- s_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty \frac {1}{k!} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Mit obiger Relation gilt:

$\begin{eqnarray*} e- s_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Aber woher weis ich nun, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \leq \frac{1}{n \cdot n!}= \frac {1}{(n+1)^0 \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Das das für einzelne Glieder der Summe gilt ist klar. Aber für die Summe an sich? Wie mache ich weiter?

16.12.2010, 22:54

René Gruber

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Zitat:

Original von alex2007
Mit obiger Relation gilt:

$\begin{eqnarray*} e- s_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug - denk nochmal mit mehr Sorgfalt nach, bevor du so eine Gleichung aufstellst.

16.12.2010, 23:00

alex2007

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Zitat:

Original von René Gruber
Vielleicht versuchst du ja mal, das für alle großen Fakultäten zu verallgemeinern und dann mal in den Reihenrest

$\begin{eqnarray*} e-s_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

einzusetzen?

An sich verstehe ich den Schluss auf diesen Reihenrest. Ich habe allerdings n kleines verständnisproblem bei der Deutung der Sache. Wenn ich davon ausgehe, dass e fest ist, dann wird die Differenz ja immer kleiner anstatt immer größer. Das was ich mit dem Reihenrest aber Ausdrücke ist eine Summe, die für n gegen unendlich den Abstand für n=1 ausgibt.
Da steh ich etwas auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

16.12.2010, 23:03

alex2007

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von alex2007
Mit obiger Relation gilt:

$\begin{eqnarray*} e- s_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug - denk nochmal mit mehr Sorgfalt nach, bevor du so eine Gleichung aufstellst.

Warum?

$\begin{eqnarray*} (n+1)! =(n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$

Das habe ich einfach eingestezt. Ich glaube ich hab hier n großes verständnisproblem böse

böse

16.12.2010, 23:11

René Gruber

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Wenn du nicht merkst, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Summen kennzeichnen, dann solltest du vielleicht erstmal ausschlafen, um die Sache morgen mit wachen Augen nochmal anzugehen.

16.12.2010, 23:15

alex2007

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Zitat:

Original von René Gruber
Wenn du nicht merkst, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Summen kennzeichnen, dann solltest du vielleicht erstmal ausschlafen, um die Sache morgen mit wachen Augen nochmal anzugehen.

Ich habe bei der ersten summe für das k, das n+1 eingesetzt und dann habe ich mit deiner relation gearbeitet. Sorry, ich check gerade garnicht, was daran falsch sein soll. ich soll ja sowieso n<0 betrachten, deswegen die indexverschiebung zu n=1.

Liegt der Fehler nun im einsetzen von (n+1) für k oder in der indexbennenung von n= 1 bis unendlich oder in dem letztenschritt mit der umschreibeung von (n+1)!= (n+1) * n! ???

Ich fühl mich gerade etwas dumm Big Laugh

Big Laugh

16.12.2010, 23:18

René Gruber

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Die erste Summe hängt von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, als Parameter - da kannst du doch nicht in der zweiten Summe dieses bereits verbratene und benötigte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Summendindexvariable nehmen. Das sind doch Grundprinzipien, die du da missachtest, merkst du das denn nicht? unglücklich

unglücklich

P.S.: Ich geb's auf - weiß nicht, warum du eine einfache Einsetzoperation so überhaupt nicht auf die Reihe kriegst, jedenfalls müsste da sowas in der Art

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(n+i)!} \leq \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^i\cdot n!} \end{eqnarray*}$

dastehen, und das rechts ist eine geometrische Reihe.

17.12.2010, 00:08

alex2007

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Zitat:

Original von René Gruber
Die erste Summe hängt von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, als Parameter - da kannst du doch nicht in der zweiten Summe dieses bereits verbratene und benötigte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Summendindexvariable nehmen. Das sind doch Grundprinzipien, die du da missachtest, merkst du das denn nicht? unglücklich

unglücklich

P.S.: Ich geb's auf - weiß nicht, warum du eine einfache Einsetzoperation so überhaupt nicht auf die Reihe kriegst, jedenfalls müsste da sowas in der Art

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(n+i)!} \leq \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^i\cdot n!} \end{eqnarray*}$

dastehen, und das rechts ist eine geometrische Reihe.

achso, ich bin aber auch dämlich. ich dachte, dass ich für das k, das n+1 einfach einsetzen kann. Das geht aber offensichtlich nicht, weils einfach nicht das selbe dann ist. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich danke dir, der rest war ja einfach das einsetzen meiner verallgemeinerung. ich war schon stutzig, dass dass so wie ichs hatte stimmt, aber hab einfach nicht den fehler bei dieser sache gesucht...

es ist ja die summe von n+1 bis unendlich...das heißt von n+1, n+2, n+3 u.s.w und das ich dann eben n+i ab i = 1 logisch...n bleibt ja immer drin, das habe ich einfach mal missachtet.

wie zeige ich jetzt noch, dass meine geometrische reihe kleiner als der ausdruck aus der aufgabe für alle n>0 ist??

17.12.2010, 19:22

chalo10

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Ich denke das stimmt soweit, allerdings solltest du nochmal über deine Annahme: e ist Element der reellen Zahlen, nachdenken...das klappt nicht.
Du müsstest annehmen, dass e Element der rationalen Zahlen ist!

17.12.2010, 19:23

chalo10

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(bezogen auf Teil c)

17.12.2010, 23:04

alex2007

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Zitat:

Original von chalo10
Ich denke das stimmt soweit, allerdings solltest du nochmal über deine Annahme: e ist Element der reellen Zahlen, nachdenken...das klappt nicht.
Du müsstest annehmen, dass e Element der rationalen Zahlen ist!

ja das meinte ich natürlich. ist einfach n zeichen fehler...muss natürlich rationale statt reelle zahlen sein.

muss ich neben dem "nicht erreichen" der 0 als folgenglied nun noch die konvergenz zeigen? ja oder?

18.12.2010, 16:08

alex2007

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Zitat:

Original von alex2007

Zitat:

Original von chalo10
Ich denke das stimmt soweit, allerdings solltest du nochmal über deine Annahme: e ist Element der reellen Zahlen, nachdenken...das klappt nicht.
Du müsstest annehmen, dass e Element der rationalen Zahlen ist!

ja das meinte ich natürlich. ist einfach n zeichen fehler...muss natürlich rationale statt reelle zahlen sein.

muss ich neben dem "nicht erreichen" der 0 als folgenglied nun noch die konvergenz zeigen? ja oder?

Obwohl, die ist ja damit gezeigt, dass e der grenzwert von der summe s_n ist. somit reichte es ja zu zeigen, dass kein folgenlied 0 0 wird, womit die zahl kein "echtes" (rationales) ende hat.

Nochmal zu a, wie zeige ich nun, dass meine geometrische reihe kleiner als 1/(n * n!) ist für alle n>0???

18.12.2010, 16:36

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von alex2007
Obwohl, die ist ja damit gezeigt, dass e der grenzwert von der summe s_n ist. somit reichte es ja zu zeigen, dass kein folgenlied 0 0 wird, womit die zahl kein "echtes" (rationales) ende hat.

Was soll denn ein echtes rationales Ende sein?

Was auch immer Du damit meinst - Du solltest Deine Argumentation mal folgender Gleichung verifizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac 12\right)^n=2 \end{eqnarray*}$

19.12.2010, 04:16

alex2007

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Zitat:

Original von Manni Feinbein

Zitat:

Original von alex2007
Obwohl, die ist ja damit gezeigt, dass e der grenzwert von der summe s_n ist. somit reichte es ja zu zeigen, dass kein folgenlied 0 0 wird, womit die zahl kein "echtes" (rationales) ende hat.

Was soll denn ein echtes rationales Ende sein?

Was auch immer Du damit meinst - Du solltest Deine Argumentation mal folgender Gleichung verifizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac 12\right)^n=2 \end{eqnarray*}$

Ich meine das so, das irgendwann ein folgengleid 0 wird und somit sich die summe nicht mehr verändert und sich daher ein endlicher bruch ergibt. wenn dem nicht so ist, dann rechne ich ja immer wieder kleine werte auf die bestehende summe drauf, somit ergibt sich ein unendlicher bruch, da egal wie klein die zahl ist die hinzukommt, die gesamtsumme wächst.

warum gilt für deine gegebene summe "=2" ? hier kommen doch auch immer mehr und mehr zahlen hinzu????

was wäre denn deiner meinung nach richtig um zu zeigen, dass eine zahl irrational ist?

und zu a) womit zeige ich denn nun, dass meine reihe immer kleiner als die rechte seite der ungleichung ist?

danke

19.12.2010, 10:20

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von alex2007
Ich meine das so, das irgendwann ein folgengleid 0 wird und somit sich die summe nicht mehr verändert und sich daher ein endlicher bruch ergibt. wenn dem nicht so ist, dann rechne ich ja immer wieder kleine werte auf die bestehende summe drauf, somit ergibt sich ein unendlicher bruch, da egal wie klein die zahl ist die hinzukommt, die gesamtsumme wächst.

Willst Du damit sagen, dass es keine konvergente unendliche Reihe gibt?

Zitat:

Original von alex2007
warum gilt für deine gegebene summe "=2" ?

Geometrische Reihe!

Zitat:

Original von alex2007
hier kommen doch auch immer mehr und mehr zahlen hinzu????

Na und? Solange die Folge der hinzukommenden Zahlen stark genug gegen Null konvergiert hindert es die Summe nicht daran trotzdem beschränkt zu sein und zu konvergieren.

Zitat:

Original von alex2007
was wäre denn deiner meinung nach richtig um zu zeigen, dass eine zahl irrational ist?

Dazu zeigt man i.d.R., dass die betreffende Zahl keine gekürzte Bruchdarstellung in ganzen Zahlen haben kann.

Zitat:

Original von alex2007
und zu a) womit zeige ich denn nun, dass meine reihe immer kleiner als die rechte seite der ungleichung ist?

Schaätze durch eine geeignete geom. Reihe ab.

danke[/quote]

19.12.2010, 22:00

alex2007

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Zitat:

Original von Manni FeinbeinSchaätze durch eine geeignete geom. Reihe ab.

Also soll ich $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n \cdot n!} \end{eqnarray*}$ ebenfalls durch eine geometrische Reihe abschätzen?

Wie gehe ich da am besten vor um das geschickt zu machen? ich brauche quasi ne reihe, die den oben genannten term abschätzt und für die $\begin{eqnarray*} \geq \sum\limits_{i=1}^\infty \frac {1}{(n+1)^i \cdot n!} \end{eqnarray*}$ gilt
???

Zitat:

Original von Manni FeinbeinDazu zeigt man i.d.R., dass die betreffende Zahl keine gekürzte Bruchdarstellung in ganzen Zahlen haben kann.

Wie stelle ich das an? Ich meine, ich habe für e ja lediglich die reihe von 0 bis unendlich gegeben. wie zeige ich da, dass es keine bruchdarstellung in ganzen zahlen gibt?

20.12.2010, 00:11

alex2007

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ich muss einfach nur meine geometrische reihe umformen, die ja den grenzwert einer parrtialsumme darstellt und schon hab ich die lösung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty \frac {1}{(n+1)^i \cdot n!} = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=1}^n \frac {1}{(n+1)^i \cdot n!}= \frac {1}{(n+1)\cdot n!} \cdot \frac {1}{1-\frac {1}{n+1}}= \frac {1}{n \cdot n!} \end{eqnarray*}$

und fertig ist der beweis.

nun noch die frage nach dem beweis dafür, dass e irrational is? Wie zeige ich das?

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