Erzeugendensystem und Basen

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14.12.2010, 16:15	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem und Basen Meine Frage: Gegeben ist die Menge T = {(1, 2, 4), (1, 0, 1), (3, 6, 5), (1, 1, 1), (2, 4, 1)} von Vektoren des Vektorraumes K3. Zeigen Sie, dass T ein Erzeugen- densystem des Vektorraumes K3 ist und geben Sie alle Basen B mit B $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ T von K3 an fur (a) K = R, (b) K = Z/7Z. Meine Ideen: mein ansatz ist, dass ich geprüft habe, ob die vektoren linear unabhängig sind (l.u.). um nicht zuviel rechen aufwand zu betreiben habe ich einen vektor "rausgeschmissen" und zwar (3, 6, 5) da er das produkt einer addition zweier anderer oben genannter vektoren ist. dass heißt mein erstelltes gleichungssytem für l.u. sieht wie folgt aus $\begin{eqnarray} <br /> k_{1} +k_{2} +k_{3} +2k_{4} = 0<br /> 2k_{1} +0k_{2} +k_{3} +4k_{4} = 0<br /> 4k_{1} +1k_{2} +k_{3} +k_{4} = 0<br /> <br /> \Rightarrow k_{4}=3k_{1}<br /> k_{3}=-14k_{1} <br /> k_{2}=k_{1}<br /> <br /> k_{1}=s k_{2}=s k_{3}=-14s k_{4}=3s<br /> \end{eqnarray}$ als basis krieg ich dann <s(-6,0,-7)> welches ein ES ist. ich hab nur so ein gefühl, dass der weg total falsch ist und ich auch nicht bei a) und b) einen Ansatz habe.
14.12.2010, 16:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem und Basen T = {(1, 2, 4), (1, 0, 1), (3, 6, 5), (1, 1, 1), (2, 4, 1)} Dort haben wir 5 Vektoren aus einem 3D Vektorraum. Ziel der Aufgabe ist es anzugeben, welche Möglichkeiten es gibt, 3 lu Vektoren aus T auszuwählen. Dass die 5 Vektoren la sind, ist logisch. Es bleibt aber die Hoffnung, mind. ein Basisvektorenset in T zu finden. Vielleicht machst du das erst mal für (a), also IR. Worin liegt der Unterschied bei (b)?
14.12.2010, 18:35	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
müssen es drei vektoren sein? weil 2 vektoren (1,0,1) und (1,1,1) sind lu
14.12.2010, 18:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Können 2 Vektoren eine Basis eines 3D VR sein?
14.12.2010, 19:06	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich ja nicht möglich drei lu sind glaube ich (1, 0, 1), (3, 6, 5),(1, 2, 4) da $\begin{eqnarray} <br /> k_{1}+ 3k_{2} +1k_{3}= 0<br /> 6k_{2}+ 2k_{3}= 0<br /> k_{1} +5k_{2}+ 4k_{3}= 0<br /> <br /> 6k_{2}+ 2k_{3}= 0=>3k_{2}+ k_{3} \Rightarrow -3k_{2}=k_{3}<br /> <br /> <br /> <br /> k_{1}+ 3k_{2} +1k_{3}= 0<br /> 3k_{2}+ k_{3}=0<br /> <br /> beide minus => k_{1}=0<br /> <br /> in 3 GL=> k_{2}=0\Rightarrow k_{3}=0 <br /> \end{eqnarray}$
14.12.2010, 19:19	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
darausfolgt, sie sind eine basis sind und ein ES nur hab ich keine ahnung was weiter gemacht werden soll...
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14.12.2010, 19:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind sie die einzige mögliche Auswahl?
14.12.2010, 19:56	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
insgesamt sind 6 kombis möglich (1,0,1),(1,1,1),(3,6,5) (1,0,1),(1,1,1),(2,4,1) (1,0,1),(1,1,1),(1,2,4) (1,0,1),(3,6,5),(2,4,1) (1,0,1),(3,6,5),(1,2,4) (1,0,1),(2,4,1),(1,2,4) diese sind alle basen und ES
14.12.2010, 20:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe davon aus, dass du richtig gerechnet hast. Ansonsten mit einem Tool für MAtrizen den Rang testen, wenn man die Vektoren in eine Matrix schreibt. Was ändert sich nun in F7?
14.12.2010, 20:11	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt, die 6 lösungen wären a)? bei b) \|K=\|Z / 7\|Z hat es glaube ich mit restklassengruppen zu tun? aber verstehen und sicher sein bin ihc mir nicht
14.12.2010, 20:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) wenn du richtig gerechnet hast. (b) ja.
14.12.2010, 20:24	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß halt nur nicht, wie ich das mit den vektoren verknüpfen soll
14.12.2010, 20:26	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
du rechnest hier eben in Restklassen.
14.12.2010, 20:37	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
genau da ist mein problem ich verstehe das thema restklassen nicht ...kennst du evtl. ein Beispiel an dem das prinzip deutlich wird?
14.12.2010, 20:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Informiere dich über Modulorechnung. Es ist ja in den Komponenten nichts anderes.
14.12.2010, 20:57	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
dann gibt es doch unendich viele möglcihkeiten eine restgruppe kann doch auch bis x gehen
14.12.2010, 21:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe nun nicht was du meinst. Die Skalare sind 0,1,2,3,4,5,6. Kann man damit die Vektoren trivial zu 0 kombinieren. Das gilt es zu untersuchen.
14.12.2010, 21:16	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
heißt das, dass ich das skalarprokut bilden, und dann gucken muss ob das ergebnis durch 7 teilbar ist?
14.12.2010, 21:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest wie vorher. Nur eben in Restklassen. Nimm dir doch erst mal 2 Vektoren raus. Dann muss einer ja ein Vielfaches des anderen sein. So kannst du paarweise alle testen.
14.12.2010, 21:31	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
warum 2 vektoren?
14.12.2010, 21:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit du einfach rechnen kannst. Sind die la, fällt einer für die Basis eh raus.
14.12.2010, 21:47	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich zwei vektoren nehme und prüfe ob sie lu/la sind, sind in meinem alle immer lu
14.12.2010, 21:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann nimm dir 2 und versuche daraus einen der anderen zu erhalten.
14.12.2010, 21:56	Carnivora	Auf diesen Beitrag antworten »
das klappt aber nur mit addition bei (1,2,4)+(2,4,1)=(3,6,5)
14.12.2010, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Zusatz "nur" verstehe ich nicht. Man muss doch Linearkombination testen. Für heute ist bei mir aber Schluss.

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