Determinante und Skalarprodukt

14.12.2010, 16:50

Stephi

Determinante und Skalarprodukt

Meine Frage:
Hallo ihr,

ich frage mich, was die Determinante und das Skalarprodukt anschaulich bedeuten. Ich meine nicht ihre Definition, sondern was sie aussagen.

Meine Ideen:
Bei der Determinante denke ich, dass damit das Volumen gemeint sein könnte, dass zum beispiel von einer 3x3 Matrix aufgespannt wird.

Bei dem Skalarprodukt, denke ich , dass es sagt, wie viele "Einheiten" von einem Vektor in die Richtung des anderen zeigt.

Liege ich mit meinen Gedabken richtig?

Ich danke euch für eure Antwort!

14.12.2010, 21:45

Reksilat

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RE: Determinante und Skalarprodukt
Hi Stephi,

Die Determinante ist nicht wirklich ein Volumen, sondern eher eine Volumenänderung. Nimm Dir eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und die Standardbasis $\begin{eqnarray*} B=\{e_1,...,e_n\} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Betrachte das Volumen des von den Standardbasisvektoren aufgespannten Hyperwürfels (also für n=2 ein Quadrat und für n=3 ein Würfel mit Kantenlängen 1).
Die Determinante von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt nun an, wie sich das Volumen dieses Würfels zum Volumen des von $\begin{eqnarray*} \{Ae_1,...,Ae_n\} \end{eqnarray*}$ aufgespannten n-dimensionalen Parallelotops/Parallelepipeds/Spats (also für n=2 ein Parallelogramm) verhält.

Beim Skalarprodukt ist es etwas schwieriger, denn so richtig sieht man den genauen Wert des Skalarprodukts in der Geometrie nicht. Meist muss man erst ein wenig rumbasteln.
Vielleicht ist diese Seite ja ganz interessant für Dich.

Gruß,
Reksilat.

15.07.2011, 16:35

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Hallo,
auch wenn die Frage vielleicht trivial ist;

warum ist denn eigentlich die Determinante das Volumen des Spates? Wie kann man das einsehen, ohne es explizit auszurechnen (Spatprodukt an sich ist klar)?

Auf Wikipedia unter http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante verstehe ich das Oben mit dem "Volumen (S)" nicht; wahrscheinlich hat das etwas mit Reksilats Andeutung zu tun, dass die Determinante nicht das Spatvolumen, sondern dessen Verhältnis zum Würfelvolumen ist?

Etwas weiter unten steht, dass die geometrische Interpretation aus den Eigenschaften der Determinante folgt. Im dreidimensionalen z.B. ist mir nur klar, dass die Eigenschaften der Determinante zu einem Volumen passen (z.B. einen Vektor verlängern, indem man ihn mit einem Skalar multipliziert bedeutet eine Spalte mit dem Skalar zu multiplizieren -> den Skalar kann man aus der Determinante rausziehen und multipliziert die ganze Determinante, d.h. das ganze Volumen damit) , aber warum es das Volumen ist, das ist meine Frage Augenzwinkern

16.07.2011, 12:07

Reksilat

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Es stellt sich ja zuerst die Frage, wie man die Determinante überhaupt definiert. Wenn man es über die Leibniz-Formel macht, dann ist es natürlich komplizierter zu sehen, aber diese Herangehensweise hat eh den Nachteil, dass da die Motivation schwer zu erkennen ist.
Deshalb wird die Determinante ja quasi schon über das Volumen definiert.

Außerdem benötigt man zuerst eine klare Vorstellung vom Volumen. Man kann ja nicht einfach sagen, dass man den Flächeninhalt misst.
Dazu wird der Begriff des Volumens allgemein definiert (das ist dann die sog. Determinantenfunktion). Man kann ganz gut zeigen, dass das bis auf Skalare eindeutig definiert ist und dass unsere klassische Vorstellung des Volumens eine Determinantenfunktion ist (eben genau die normierte, die dem Standardwürfel den Inhalt 1 zumisst). Gerade die Linearität des klassischen Volumens sieht man dabei sehr schön. - Verdopplung einer Kantenlänge verdoppelt eben auch das Volumen.

Hierbei muss man natürlich auch negatives Volumen zulassen. - Wenn das von x und y aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat, so hat das von y und x aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ . Daran muss man sich halt gewöhnen, denn ausschließlich mit nichtnegativen Volumina kann man keine lineare Algebra betreiben.

Gruß,
Reksilat.

16.07.2011, 12:47

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Danke für deine Antwort.

Wenn ich deinen zweiten Satz richtig deute, meinst du, dass man fürs Erkennen der "Volumeneigenschaft" die Determinante gleich als Multilinearform mit det(I)=1 definieren soll.

Muss man damit also einfach akzeptieren, dass die Determinante zu einem Volumen gehört?
So nach der Art "es gibt keine Eigenschaft der Multilinearform, die nicht auch Eigenschaft eines (klassischen) Volumens ist; folglich beschreibt die Determinante ein Volumen"?

16.07.2011, 15:10

Reksilat

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Zitat:

Wenn ich deinen zweiten Satz richtig deute, meinst du, dass man fürs Erkennen der "Volumeneigenschaft" die Determinante gleich als Multilinearform mit det(I)=1 definieren soll.

Für die Anschauung auf jeden Fall. Man muss dann zwar sowieso irgendwann noch zeigen, dass die Definition zur Leibniz-Formel äquivalent ist, aber für die Anschauung ist diese erst mal nicht so wichtig.

Zitat:

Muss man damit also einfach akzeptieren, dass die Determinante zu einem Volumen gehört?
So nach der Art "es gibt keine Eigenschaft der Multilinearform, die nicht auch Eigenschaft eines (klassischen) Volumens ist; folglich beschreibt die Determinante ein Volumen"?

Man hat sich das ja nicht zum Spaß ausgedacht und dann später gesehen, dass es zufällig mit dem Volumen übereinstimmt. Die Motivation der Determinante und der zugrundeliegenden alternierenden MLF ist nun mal das Volumen.

Bei mir in der LA hieß diese MLF auch gar nicht Determinantenfunktion, sondern es hieß einfach Volumen bzw. Volumenfunktion.
Dann kann man sich überlegen, dass diese Bezeichnung sinnvoll ist, da das Volumen wie wir es kennen eben solch eine Volumenfunktion/Determinantenfunktion ist. Und schließlich sieht man noch, dass die Determinante wohldefiniert ist, d.h. es ist egal, über welche alternierende MLF ich sie definiere, weshalb man auch das klassische Volumen dafür nehmen kann.

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