polynom koeffiziente - matrix

15.12.2010, 10:51

gysrai

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polynom koeffiziente - matrix

Hi, ich bitte auf diesem Weg um Hilfe, habe 2 wochen Vorlesungen ausgelassen da mein Kind krank war und jetzt komme ich mit der Übungsaufgabe nicht weiter.
Kann mit bitte wer eklären wie das geht und was die eigentlich von mir wollen ? smile )
Also, die Aufgabe geht so:
Man kann jedes Polynom p to P2(R) in den beiden folgende Formen schreiben:
(a) $\begin{eqnarray*} p(t)= b_{1}\cdot t^{2} + b_{2}\cdot t + b_{3} \end{eqnarray*}$
oder
(b) $\begin{eqnarray*} p(t)= c_{1}\cdot (t-1)^{2} + c_{2}\cdot (t-1) + c_{3} \end{eqnarray*}$

Man dru cke die (neuen) Koeffizientenfolge c durch die alte, d.h. b aus (lineares Gleichungssystem), z.B. indem man beginnt mit $\begin{eqnarray*} t^{2}= (t-1)^{2} + r(t) \end{eqnarray*}$ , wobei r(t) niedrigeren Grad hat etc... HINWEIS: Soferne der allgemeine Fall zu kompliziert erscheint ist es OK, ein konkretes Bespiel zu nehmen, z.B. $\begin{eqnarray*} p(t)= 1\cdot t^{2} + 2\cdot t + 3 \end{eqnarray*}$ und es in die zweite Gestalt umzuwandeln!

wie geht das denn?

15.12.2010, 10:53

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Tu mir einen Gefallen, nutze latex/Formeleditor. Dann können wir uns der Aufgabe annehmen. Danke.

Generell: Polynome bilden einen Vektorraum. Da gibt es unendlich viele Möglichkeiten eine Basis zu wählen.

15.12.2010, 11:03

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
so, umgewandelt Freude

Freude

kanns nicht erwarten.. es ist die erste von 20 aufgaben die alle auf dem selben prinzip basieren unglücklich

unglücklich

15.12.2010, 11:06

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Och, nur $\begin{eqnarray*} \Pi_2 \end{eqnarray*}$ . Ist ja fast schon langweilig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} p(t)= b_{1}\cdot t^{2} + b_{2}\cdot t + b_{3} \end{eqnarray*}$

Nun sagte ich was von VR und Basen. Ist hier nicht schwer einzusehen, dass die Polynome t²,t,1 linear unabhängig sind, oder? [Ja, Funktionen können auch Vektoren sein!] Welchen Koordinatenvektor hat p dann bzgl. dieser Basis. Du bist dran.

15.12.2010, 11:10

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
ich versuche ja zu raten (das letzte wo ich dabei war in der vorlesung war gauss )

$\begin{eqnarray*} v = (b_{1} ,b_{2} ,b_{3}) \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 11:13

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Raten ist gaaaaanz schlecht. Seien V=(v1,v2,v3) eine Basis und

$\begin{eqnarray*} v:=\alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + \alpha_3 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

Wie lauten die Koordinaten von v bzgl. V?

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15.12.2010, 11:16

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 11:19

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Yeah! Tanzen

Tanzen

Möchtest du nun deine Antwort auf meine Frage nach den Koordinaten von p noch mal überdenken?

15.12.2010, 11:22

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
ich lese grad deine antwort bezüglich koordinatenvektor im archiv smile

smile

) dankr für die hilfe - wie wird jetzt die matrix aussehen?

15.12.2010, 11:23

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Ich möchte die Antwort schon hier hören. Dann geht es weiter.

15.12.2010, 11:25

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
$\begin{eqnarray*} v = (b_{1} ,b_{2} ,b_{3}) \end{eqnarray*}$
oder auch

$\begin{eqnarray*} v = (b_{3} ,b_{2} ,b_{1}) \end{eqnarray*}$ da man da umgekehrt vorgehen muss?

15.12.2010, 11:29

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Es kommt darauf an, wie man die Basis anordnet. Nehmen wir B1:=(1,t,t²), dann

$\begin{eqnarray*} p(t)= b_{1}\cdot t^{2} + b_{2}\cdot t + b_{3} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} p=(b_3,b_2,b_1)^T_{B_1} \end{eqnarray*}$

Der Index soll nur verdeutlichen, bzgl. welches Basis man den Vektor angibt. Schauen wir und nun die zweite Variante an.

$\begin{eqnarray*} p(t)= c_{1}\cdot (t-1)^{2} + c_{2}\cdot (t-1) + c_{3} \end{eqnarray*}$

Mit gleicher Idee (höchste Potenz) sehen wir ein, dass B2:=(1,(t-1),(t-1)²) eine Basis von $\begin{eqnarray*} \Pi_2 \end{eqnarray*}$ ist. Welche Koordinaten hat p nun?

edit:

Wenn du die Frage beantwortet hast, kennst du Input und Outputvektor. Wie man nun die Matrix berechnet, ist im Grunde die Frage nach der Berechnung der Matrix eines Basiswechsels. Das kannst du hier [Artikel] Basiswechsel nachlesen.

15.12.2010, 12:22

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
hm, ich denke ich erkenne schon die richtung^^
danke, ich schaue mir das am nachmittag an und poste hier hinein, muss jetzt das fuzzi abholen^

15.12.2010, 12:28

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Wink

Wink

15.12.2010, 15:06

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
hi, habe also folgendes berechnet:
$\begin{eqnarray*} <br /> c_{1}\cdot (t^{2} -1)^2 + c_{2}\cdot (t^{2} -1) +c_{3} =<br /> c_{1}\cdot t^2 + t\cdot(c_{2}-2 \cdot c_{1}) + c_{1}-c_{2}+c_{3} \end{eqnarray*}$
daher ist
$\begin{eqnarray*} <br /> b_{1}= c_{1}<br /> b_{2}= c_{2}-2\cdot c_{1}<br /> b_{3}= c_{1}-c_{2}+c_{3} \end{eqnarray*}$

ist es richtig so? Hammer

Hammer

und da ich die koeffizienten durch b ausdrucken soll ist es dann:
$\begin{eqnarray*} <br /> c_{1}= b_{1}<br /> c_{2}= b_{2}-2\cdot b_{1}<br /> c_{3}= b_{3}+b_{2}- 3 \cdot b_{1} \end{eqnarray*}$

jedenfalls habe ich keine matrix gestellt und weiss auch nicht wie ich sowas machen sollte da ich eh nur 1 polynom habe, es sei denn
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{vmatrix} t^{2} & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 15:59

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Du sollst nicht die Koordinaten umrechnen, sondern eine Basis durch die andere ausdrücken. Dazu empfiehlt es sich hier, die Polynome der zweiten Basis mal ohne Klammern hinzuschreiben.

Machen, dann geht es weiter.

15.12.2010, 16:40

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
meinst du (c1, c2, c3)? der basis $\begin{eqnarray*} \left((t-1)^2, (t-1), 1\right) \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 16:46

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Wo drücke ich mich unklar aus? Die 2 Basen sind umzurechnen. B1:=(1,t,t²), und B2:=(1,(t-1),(t-1)²). Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.12.2010, 17:06

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
hm, ich weiss wirklich nicht wie ich beginnen soll..
wärst du so nett und erklärst mir die vorgehensweise?
ps - wir haben ein skriptum von strang - kann es dort auch nicht finden unglücklich

unglücklich

falls nicht melde ich mich offiziell blöd

15.12.2010, 17:09

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix

Zitat:

Original von tigerbine
Du sollst nicht die Koordinaten umrechnen, sondern eine Basis durch die andere ausdrücken. Dazu empfiehlt es sich hier, die Polynome der zweiten Basis mal ohne Klammern hinzuschreiben.

Machen, dann geht es weiter.

Ich war schon sehr nett. Skript brauchst du nicht, ich sag dir ja was zu tun ist.

15.12.2010, 17:16

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
jo du BIST nett nur uch stehe mir auf der leitung

also $\begin{eqnarray*} c_{1}\cdot t^2 - c_{1} \cdot 2\cdot t +c_{1} + c_{2}\cdot t -c_{2}+c_{3} \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 17:17

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Nein. Du musst genauer lesen!!!

B2:=(1,(t-1),(t-1)²)

Da steht dann doch

1

t-1

(t-1)² = ?

15.12.2010, 17:21

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
$\begin{eqnarray*} t^2 - 2\cdot t +1 \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 17:29

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Na also. Und wwelche Koordinaten hat B2 bzgl. B1?

15.12.2010, 17:29

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 17:32

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix
Nein, denn es müssen doch 3 Vektoren rauskommen. Für den dritten stimmt es aber.

15.12.2010, 17:44

gysrai

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RE: polynom koeffiziente - matrix
was mache ich jetzt mit der matrix (den 3 vektoren)?

15.12.2010, 17:49

tigerbine

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RE: polynom koeffiziente - matrix

Zitat:

Original von tigerbine
Wenn du die Frage beantwortet hast, kennst du Input und Outputvektor. Wie man nun die Matrix berechnet, ist im Grunde die Frage nach der Berechnung der Matrix eines Basiswechsels. Das kannst du hier [Artikel] Basiswechsel nachlesen.

Nun hast du die nötigen Informationen dafür.

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