Vielfachheiten von Nullstellen |
| 15.12.2010, 18:24 | Denisa23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vielfachheiten von Nullstellen wenn man den term hat: x³ -6x² +12x - 8 wie kommt man dann auf (x²-4x+4) *(x-2) = (x-2) (x-2) (x-2) = (x-2)³ ? und was hat es mit diesen vielfachheiten auf sich? verstehe den sinn daran nicht ganz, der lehrer hat es schlecht erklärtt....danke |
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| 15.12.2010, 18:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Vielfachheiten von Nullstellen Durch "Raten" findest du die Nullstelle x=2. Dann machst du die Polynomdivision (x³ -6x² +12x - 8) : (x - 2) = x² - 4x + 4 Bei letzterem sieht man direkt die 2. binomische Formel. Was hat es mit den Vielfachheiten auf sich? Ist x = a eine Nullstelle von p(x), so gibt es ein Polynom q(x) mit q(a) ungleich Null und eine natürliche Zahl n_a mit: Die Zahl n_a gibt Auskunft über die Vielfachheit der Nullstelle. |
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| 15.12.2010, 18:45 | Denisa23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo und danke! stimmt, polynomdivision ist da natürlich angesagt...aber was ich nicht verstehe, warum multipliziere ich nach der divsiion den entstandenen term wieder mit (x-2) und schließe mir dann mühsam die binomische formel und warum wende ich nicht einfach die pq-formel an? |
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| 15.12.2010, 18:56 | Denisa23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
z.b. beim term 1/8 * (x-4)² * (x + k) wird als lösung angegeben: NICHT ausmultiplizieren! Fallunterscheidung. k = - 4: x1,2,3 = 4; k =/ -4: x1 = - k, x2,3 = 4 verstehe das nicht gnaz |
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| 15.12.2010, 19:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nichts überstürzen. Wir haben gerechnet: (x³ -6x² +12x - 8) : (x - 2) = x² - 4x + 4 Jetzt kannst du die Nullstellen von x² - 4x + 4 mit der pq-Formel bestimmen. Oder du kannst mit dem scharfen mathematischen Blick erkennen, daß x² - 4x + 4 = (x - 2)² ist. Setzen wir das jetzt ein, erhalten wir: (x³ -6x² +12x - 8) : (x - 2) = x² - 4x + 4 = (x - 2)² <==> x³ -6x² +12x - 8 = (x - 2)³ Das führt uns unmittelbar zu der Erkenntnis, daß x³ -6x² +12x - 8 nur eine Nullstelle hat (nämlich x=2) und daß die Vielfachheit davon 3 ist.
Wenn man Nullstellen bestimmt, dann braucht man ganz dringend die Faktordarstellung des Terms. Und wenn man diese hat (wie bei 1/8 * (x-4)² * (x + k)), dann wird man diese nicht aufgeben, indem man die Klammern ausmultipliziert. Jetzt kann man ganz bequem sagen: Ist k=-4, hat man die Nullstelle x = 4 mit der Vielfachheit 3. Ist k <> -4, hat man die Nullstelle x = -k und die Nullstelle x=4 mit der Vielfachheit 2. |
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| 15.12.2010, 19:27 | Denisa23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
super, hast echt toll erklärt! jetzt hab ichs so weit verstanden und bei ein paar anderen aufgaben noch angewendet. nur bei einer weiß ich nicht so recht wie ich weitermachen soll: bei der ist der term gegeben: 1/9 x (x²-k)*(x²-9) = 0 (k größer gleich 0) k = 0 dann haben wir nst 0 in zweifacher ausführung und 3 in zweifacher ist k 9 dann haben wir x 1;3 : 3 und 2,4 : - 3 und wenn k nicht 0 und nicht 9 ist haben wir wurrzel k in doppelter ausführung mit je plus und minus und plus minus 3 wie kommt man allerdings auf die drei werte 0, 9 und einmal nicht 9 und nicht 0 für k einzusetzen? wieso nehm ich nicht z.b. 5? woher weiß ich auch bei der letzten aufgabe das ich -4 und einmal nicht - 4 nehme? hängt das damit zusammen das k größer gleich null gegeben ist? aber wie leite ich das dann davon ab diese drei werte zu nehmen? |
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| 15.12.2010, 22:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm. Ich würde sagen, daß bei k=0 x=0 dreifache Nullstelle ist. Also schauen wir uns x * (x²-k)*(x²-9) nochmal genau an. Interessant wird es wohl neben k=0 bei k=9. Denn dann haben wie den Faktor (x² - 9) doppelt da. Und diesen Faktor kann man mit der 3. binomischen Formel nochmal zerlegen: x² - 9 = (x + 3) * (x - 3) Und damit sollte auch klar werden, bei welchem k man welche Nullstellen mit welchen Vielfachheiten hat. |
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| 16.12.2010, 20:56 | Denisa23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber woher weiß ich das ich für k einmal 0 annehmen, einmal 9 und einmal weder 0 und 9? |
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| 16.12.2010, 22:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil dann aus (x² - k) ein Faktor wird, der schon mal vorhanden ist. Also wird es da doch interessant. |
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