Zyklische Gruppen

16.12.2010, 02:08	Helpneeder	Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppen Meine Frage: Hey ich kann folgende Aufgabe nicht lösen: Finden Sie eine 4-elementige und eine 5-elementige Untergruppe von Z25* und stellen Sie die zugehörigen Gruppentafeln für die gefundenen Untergruppen auf! Meine Ideen: Also ich dachte mir, dass ich die Untergruppen durch die ganzzahligen Teiler von 25 finde. Jedoch gibs dort ja nur die 5 oder? Außerdem versteh ich nich, wie ich die Elemente bestimme. Hab mir online viel durchgelesen, aber verstehe es nicht wirklich.
16.12.2010, 08:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist die Rede von der Einheitengruppe $\begin{eqnarray} \mathbb (Z25)^ \end{eqnarray}$ , diese Gruppe enthält $\begin{eqnarray} \varphi(25)=20 \end{eqnarray}$ Elemente. Also gibt es berechtigte Hoffnung auf Untergruppen der Größe 4 und 5 zu stoßen. Da $\begin{eqnarray} \mathbb (Z25)^* \end{eqnarray}$ zyklisch ist, wird die Hoffnung sogar definitiv erfüllt und man kann folgendermaßen vorgehen: Finde einen Erzeuger a der Gruppe. Dann sind $\begin{eqnarray} \langle a^5 \rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle a^4 \rangle \end{eqnarray*}$ die gewünschen Untergrupen.
16.12.2010, 15:23	Helpneeder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also erstmal danke für die Hilfe. Ich versteh nicht wirklich, was eine Einheitsgruppe ist? Und warum diese Gruppe nur 20 statt 25 Elementen hat. Würde ich dann als Erzeuger 4 und 5 nehmen und dann die zyklischen Gruppen dazu bilden? Ehrlich gesagt, versteh ich nur Bahnhof Das Thema überfordert mich maßlos.
17.12.2010, 16:23	Helpneeder	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen? Muss den Mist morgen abgeben
17.12.2010, 18:45	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten sind Elemente, die ein multiplikatives Inverses haben. In deiner Gruppe ist ein Element genau dann, eine Einheit wenn es teilfremd zu 25 ist. Die eulersche Phi-Funktion gibt dir die Anzahl solcher Elemente.

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