Basis eines Vektorraumes finden

Neue Frage »

Jean-Louis Bouffon Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Vektorraumes finden
Meine Frage:
Sei ein R-Vektorraum definiert durch . Bestimmen Sie ein Basis.

Meine Ideen:
Was genau bedeutet , und was ist f (eine Funktion, Folge, ?). Und wie geht man dann vor. Gibt es nicht unendlich solche Funktionen / Folgen (z.B. Sinus-Funktion, alternierende Folgen, etc. in beliebigen nicht komplett darstellbaren Variationen...).

Kann mir jemand ein paar Tips geben?

Edit von lgrizu: Latex-tabs korrigiert
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Menge der Abbildungen



Diese Abbildungen kann man auch als Folgen interpretieren. Tatsächlich ist eine Zahlenfolge nichts anderes, als eine Zuordnung (Abbildung) von natürlichen Zahlen zu reellen Zahlen.

Zitat:
Gibt es nicht unendlich solche Funktionen / Folgen (z.B. Sinus-Funktion, alternierende Folgen, etc. in beliebigen nicht komplett darstellbaren Variationen...).


Es gibt auch unendlich viele Zahlen, und trotzdem kann man eine Basis im Vektorraum R angeben.

Was die Basis angeht, schau Dir mal einige Elemente des Raumes an, wie würdest Du diese als Linearkombination darstellen wollen?
klaralol Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ebenfalls ein Problem mit der Aufgabe. Ich weiß nicht so richtig was damit gemeint ist.

Wie würden denn Elemente aus dem Raum aussehen?
Jean-Louis Bouffon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
ist die Menge der Abbildungen



Diese Abbildungen kann man auch als Folgen interpretieren. Tatsächlich ist eine Zahlenfolge nichts anderes, als eine Zuordnung (Abbildung) von natürlichen Zahlen zu reellen Zahlen.

Zitat:
Gibt es nicht unendlich solche Funktionen / Folgen (z.B. Sinus-Funktion, alternierende Folgen, etc. in beliebigen nicht komplett darstellbaren Variationen...).


Es gibt auch unendlich viele Zahlen, und trotzdem kann man eine Basis im Vektorraum R angeben.

Was die Basis angeht, schau Dir mal einige Elemente des Raumes an, wie würdest Du diese als Linearkombination darstellen wollen?


Angenommen ich stelle eine Folge durch ein Tupel dar. Da eine Folge unendlich ist, wir angenommen, dass alle Folgenglieder nach dem letzten Element des Tupels 0 sind (ich hoffe dass ich das klar ausgedrückt habe).

Dann könnte die Basis des Vektorraums alle endlichen, paarweise verschiedenen Tupel enthalten, in denen einmal die 1, einmal die -1 und sonst nur 0 vorkommt. So wäre gesichert, dass die Summe aller linear kombinierten Folgen 0 ist.

Beispiel: wenn die Definition nicht wäre, sondern , sähe die Basis so aus: .

Das wäre aber eine riesige Basis!
slight Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die Aufgabe zwar nicht lösen aber wären Elemente der Menge nicht
zb: f(1)=0 f(5)=0 f(100)=0
könnte man sich die Menge im Koordinatensystem so vorstellen, dass fasst alle Punkte auf der x-Achse liegen?
slight Auf diesen Beitrag antworten »

woher weiß man aber das n>4 ist?
könnte man auch eine kleinere Basis B= {(1),(-1),(0)} definieren oder B={(00),(10) ,(-10), (01), (0-1) nehmen?
Habe ich überhaupt das Prinzip mit diesen Tupel verstanden?
 
 
Jean-Louis Bouffon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von slight
woher weiß man aber das n>4 ist?
könnte man auch eine kleinere Basis B= {(1),(-1),(0)} definieren oder B={(00),(10) ,(-10), (01), (0-1) nehmen?
Habe ich überhaupt das Prinzip mit diesen Tupel verstanden?


Das mit dem war ein Beispiel, da man die Folgen in denen nur fast alle sind, nicht so einfach hinschreiben kann. Die Idee hinter den Tupeln ist einfach, dass du alle trivialen Folgen nimmst, deren Summe 0 ist, d.h. wenn ein Element immer das andere "auslöscht". Dann kombinierst du die und dann ist die Summe ja immer noch 0.
slight Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, die Werte müssen sich schließlich "aufheben" damit die Summe null ergibt.
Ist die Größe der Basis bzw ihrer Elemente abhängig von n? Meiner Meinung nach schon aber wie kann ich das aufschreiben?
Jean-Louis Bouffon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von slight
Ja stimmt, die Werte müssen sich schließlich "aufheben" damit die Summe null ergibt.
Ist die Größe der Basis bzw ihrer Elemente abhängig von n? Meiner Meinung nach schon aber wie kann ich das aufschreiben?


Wie groß die Basis ist, müssen wir ja nicht angeben. Du kannst das aber mit dem Binomialkoeffizienten berechnen: , wobei k die Länge des längsten Tupels aus B ist.
slight Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dass dann ausschreibe und kürze erhalte ich , dann kann ich zwar einfach die Größe der Basis für jedes n angeben, aber ich soll ja eine Basis angeben. Schreibe ich die dann in Abhängikeit von k?
Jean-Louis Bouffon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von slight
Wenn ich dass dann ausschreibe und kürze erhalte ich , dann kann ich zwar einfach die Größe der Basis für jedes n angeben, aber ich soll ja eine Basis angeben. Schreibe ich die dann in Abhängikeit von k?


Ich habe auch keine gute Idee, wie man die Basis "schön" angibt. Das werde ich einfach so erklären wie in meinen Posts. Die Dimension erwähne ich überhaupt nicht.

P.S. Könnte irgendein Mathegott den Ansatz kommentieren?
slight Auf diesen Beitrag antworten »

ok Danke für die Hilfe
lg
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grundlegende Idee ist richtig. Es sei diejenige Folge, die an den Stellen i eine 1, j eine -1 und sonst überall 0en hat. Dann ist die Menge



eine Basis. Diese Menge hat unendlich viele Elemente. Eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist linear unabhängig, wenn jede endliche Auswahl linear unabhängig ist. Das ist also zu zeigen! Danach muss noch gezeigt werden, dass der Raum wirklich erzeugt wird durch diese Menge.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »