Ring noethersch

17.12.2010, 17:29

Tobiass

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Ring noethersch

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass der Ring $\begin{eqnarray*} R:=\{f\in \mathbb Q [X]| f(0)\in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ nicht noethersch ist.

Meine Ideen:
Ich habe den Hinweis bekommen, die Ideale $\begin{eqnarray*} X/2^k \cdot R \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Ich habe aber keine Idee wie das ganze funktionieren soll.

17.12.2010, 18:50

pseudo-nym

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Welche Definitionen von noethersch kennst du und welche scheint dir am nützlichsten wenn du eine Familie von Idealen gegeben hast?

17.12.2010, 20:44

Tobiass

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Ein kommutativer Ring ist noethersch, wenn die Menge seiner Ideale noethersch ist. Heißt das, dass ich zeigen muss, dass es kein maximales Ideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gibt?

17.12.2010, 20:58

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Tobiass
Ein kommutativer Ring ist noethersch, wenn die Menge seiner Ideale noethersch ist.

Eine rekursive Definition ohne Rekursionsanfang ist nicht besonders hilfreich.

Zitat:

Original von Tobiass
Heißt das, dass ich zeigen muss, dass es kein maximales Ideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gibt?

Hier spielst du scheinbar auf die Definition an, nach der ein Ring noethersch ist, wenn jede nicht-leere Menge von Idealen ein maximales Element bzgl der Inklusion besitzt.

Die Antowort ist nein. Du musst lediglich eine solche Menge ohne maximales Element finden.

18.12.2010, 10:58

Tobiass

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Das heißt also, ich muss irgendein Ideal finden, das kein maximales Element enthält und dann bin ich fertig?

18.12.2010, 15:29

pseudo-nym

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Nein, du musst eine Menge von Idealen finden, die kein maximales Element hat.

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18.12.2010, 15:31

Tobiass

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Das ist dann wohl die Menge $\begin{eqnarray*} X/2^k \cdot R \end{eqnarray*}$ ? Aber ich hab keine Ahnung, wie ich dann zeigen kann, dass diese Menge kein maximales Element hat.

18.12.2010, 15:40

pseudo-nym

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Mach dir klar was "maximales Element" in diesem Zusammenhang genau bedeutet.

18.12.2010, 15:47

Tobiass

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das bedeutet doch, dass z.B. das Ideal $\begin{eqnarray*} X/2\cdot R \end{eqnarray*}$ echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X/2^2 \cdot R \end{eqnarray*}$ ist usw. Also kann man k beliebig vergrößern und bekommt immer wieder eine echte Teilmenge und keine Gleichheit.

18.12.2010, 16:15

pseudo-nym

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Nein, ein maximales Element einer halbgeordneten Menge ist was anderes.

Du solltest vorsichtig sein, was du da zusammenassoziierst.
Ich habe den Eindruck, du hast jetzt gerade eine andere Defintion von noethersch im Kopf (eine die etwas mit aufsteigenden Idealketten zu tun hat) und du hast erkannt, dass $\begin{eqnarray*} X/2^k \cdot R \end{eqnarray*}$ eben eine solche Kette ist.
Das ist richtig und wohl auch zweckmäßig für einen Beweis, allerdings darfst du das nicht mit der Defintion über Idealmengen ohne maximale Elemente vermischen.

18.12.2010, 16:22

Tobiass

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Ich wollte eigentlich sagen, dass man beim vergrößern von k immer eine echte Obermenge bekommt. Reicht das nicht als Beweis? Damit ist doch gezeigt, dass es kein maximales Ideal gibt.

18.12.2010, 16:30

pseudo-nym

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Das mit dem Hellsehen muss ich wohl noch üben.
Du müsstest nur noch
$\begin{eqnarray*} \forall k \in \mathbb N : X / 2^k R \subsetneqq X / 2^{k+1} R \end{eqnarray*}$
zeigen

18.12.2010, 16:44

Tobiass

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Es ist mit jedem Polynom $\begin{eqnarray*} p\in X/2^k R \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 2p\in X/2^k R \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} p\in X/2^k R = 2p'\in X/2^{k+1} R \end{eqnarray*}$ . Also gilt schonmal $\begin{eqnarray*} X/2^k R\subseteq X/2^{k+1} R \end{eqnarray*}$ . Aber es ist $\begin{eqnarray*} 3p'\notin X/2^k R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 3p' \in X/2^{k+1} R \end{eqnarray*}$ . Damit folgt dann $\begin{eqnarray*} X/2^k R \subsetneqq X/2^{k+1} R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so sagen?

18.12.2010, 18:15

pseudo-nym

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RE: Ring noethersch
Bevor ich dazu was sage, möchte ich die Nomenkaltur bzgl $\begin{eqnarray*} X/2^k \cdot R \end{eqnarray*}$ klären.

Ich nehme mal an X ist variabel. Den Ausdruck $\begin{eqnarray*} A/B \end{eqnarray*}$ kenne ich nur als den Faktorring bzgl. dem Ring A und dem Ideal $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} X/2^k \end{eqnarray*}$ macht das allerdings keinen Sinn.

19.12.2010, 12:46

Abakus

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RE: Ring noethersch

Zitat:

Original von pseudo-nym
Bevor ich dazu was sage, möchte ich die Nomenkaltur bzgl $\begin{eqnarray*} X/2^k \cdot R \end{eqnarray*}$ klären.

Ich nehme mal an X ist variabel. Den Ausdruck $\begin{eqnarray*} A/B \end{eqnarray*}$ kenne ich nur als den Faktorring bzgl. dem Ring A und dem Ideal $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} X/2^k \end{eqnarray*}$ macht das allerdings keinen Sinn.

Hallo!

Das $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist ja ein Polynomring. Das $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k} \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , jeweils mit anderem Koeffizienten für anderes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Gemeint mit $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k} \cdot R \end{eqnarray*}$ (oben wirklich missverständlich geschrieben) ist das von diesem Polynom erzeugte (Haupt-) Ideal.

Wir sollten zeigen: es gibt eine echt aufsteigende Kette von Hauptidealen.

Die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(0) \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ müsste in den Beweisen jedoch noch berücksichtigt werden.

Grüße Abakus smile

smile

19.12.2010, 12:59

Tobiass

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Soweit hab ich jetzt alles verstanden. Aber wie bekomme ich eine echt aufsteigende Kette von Hauptidealen hin? Das hat doch auf jeden Fall was mit dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu tun. Aber was genau und wie bringe ich die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(0) \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ rein?

19.12.2010, 13:26

pseudo-nym

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Dein letzter Beweis macht formal wenig Sinn.

Um $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k} R\subseteq \frac{X}{2^{k+1}} R \end{eqnarray*}$ zu zeigen reicht
$\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k} \in \frac{X}{2^{k+1}} R \end{eqnarray*}$

Kann man das auch umgekehrt zeigen?

19.12.2010, 13:34

Tobiass

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Der umgekehrte Fall gilt im Allgemeinen nicht, daraus folgt ja dann die echte aufsteigende Kette. Aber wie schreib ich das formal richtig auf?

19.12.2010, 13:44

pseudo-nym

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Damit eine echt aufsteigende Kette vorliegt reicht es nicht, dass der umgekehrte Fall im Allgemeinen nicht richtig ist.
Das ist so als wenn ich sagen würde: Im Allgemeinen sind nicht alle Zahlen gerade, deswegen $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z = \emptyset \end{eqnarray*}$

Ich fände ich es außerdem besser, wenn du dir zwischen deinen Posts ein bischen mehr Zeit zum eigenständigen Nachdenken geben würdest.

19.12.2010, 16:03

Tobiass

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Also ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k} \in \frac{X}{2^{k+1}}\cdot R \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k}=\frac{X}{2^{k+1}}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\in R \end{eqnarray*}$ .
Aber es gilt nicht $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^{k+1}}\in \frac{X}{2^k}\cdot R \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^{k+1}}=\frac{X}{2^k}\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \notin R \end{eqnarray*}$ .
Damit folgt $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k}\cdot R \subsetneqq \frac{X}{2^{k+1}}\cdot R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Menge der Ideale $\begin{eqnarray*} \frac{X}{2^k}\cdot R \end{eqnarray*}$ nicht noethersch. Also ist auch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nicht noethersch.

19.12.2010, 16:13

pseudo-nym

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Der Beweis ist okay, allerdings hab ich noch nie von der Eigenschaft noethersch für Mengen von Idealen gehört.

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