R-Vektorraum

18.12.2010, 11:55

Zero00000

R-Vektorraum

Meine Frage:
Es sei V die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Erläutern Sie mit welchen (kanonischen) Verknüpfungen V ein R-Vektorraum ist. Zeigen Sie, dass
(i) V unendlichdimensional ist.
(ii) W = {a?V|?n?N:an+2 =an +an+1} ein Unterraum von V ist und
geben Sie eine Basis sowie die Dimension von W an.

Meine Ideen:
erstmal: Was ist mit Verknüpfung erläutern gemeint?
zu (i) wie zeige ich dass V unendlichdimensional ist?
zu (ii) ich weiß wie man Unterräume zeigt und Basis und Dimension bestimmt.

18.12.2010, 13:15

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: R-Vektorraum

Zitat:

Original von Zero00000
erstmal: Was ist mit Verknüpfung erläutern gemeint?

Ich denke, du sollst einfach mal die Verknüpfungen hinschreiben, die man benötigt, um aus V einen R-Vektorraum zu basteln. Und vielleicht kurz zeigen, dass sie auch so funktionieren. Schau doch nochmal in die Vektorraum-Axiome rein, da steht drin, welche Verknüpfungen du brauchst.

Zitat:

Original von Zero00000
zu (i) wie zeige ich dass V unendlichdimensional ist?

Kannst du unendlich viele Zahlenfolgen finden, die linear unabhängig sind? Denk dir dazu am besten mal möglichst einfache Zahlenfolgen.

Zitat:

Original von Zero00000
zu (ii) ich weiß wie man Unterräume zeigt und Basis und Dimension bestimmt.

Na, dann steht der Lösung dieser Teilaufgabe doch nichts mehr im Wege. Die Kriterien für einen Unterraum kannst du ja einfach abarbeiten. Allerdings solltest du deine Angaben vielleicht noch vervollständigen, denn mit diesem Salat hier

Zitat:

W = {a?V|?n?N:an+2 =an +an+1}

kann hier logischerweise niemand etwas anfangen. Gemeint sein soll wohl die Menge aller Fibonacci-Folgen. Schreib doch mal die ersten paar Glieder einer solchen Fibonacci-Folge allgemein hin. Das bringt dich bestimmt auf eine Idee, wie so eine Basis aussehen kann.

18.12.2010, 13:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist eine Menge, ein Vektorraum ist eine Menge "über" einem Körper mit einer inneren Verknüpfung ("Addition") und einer äußeren Verknüpfung ("skalare Multiplikation"). Verknüpfungen erläutern heißt dann wohl, dass du sie erst mal definieren musst.

19.12.2010, 16:51

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich die selben Aufgaben habe, hake ich mich mal hier ein:
Addition und Multiplikation müssten komponentenweise definiert sein wenn ich Elemente aus V als endloses Tupel auffase:
$\begin{eqnarray*} (a_1,a_2,...)+(b_1,b_2,...)=(a_1+b_1,a_2+b_2), \lambda (a_1,a_2,...)=(\lambda a_1,\lambda a_2,...) \end{eqnarray*}$

zu i) Da habe ich jetzt 2 Ideen:
1) Eine Basis von V müsste ja $\begin{eqnarray*} e_i=(0,...,\underbrace{1}_{i},...) B=\{e_1,e_2,...\} \end{eqnarray*}$
Beweise ich das das eine Basis ist habe ich die Aussage bewiesen.
Diese Basis hab ich von einer anderen Aufgabe wo es um den VR der reelen Zahlenfolgen mit nur endlich vielen Gliedern ungleich 0 ging.

Bei diesem Vektorraum habe ich allerdings unendlich erzeugte Folgen, und kann deshalb keine Linearkombination von Elementen diese VR bilden?

2) Wäre ein Widerspruchsbeweis.
Also angenommen V sei endlich dimensional, Dann hat V eine endliche Basis.
Da die Elemente aus V allerdings nicht endlich erzeugt werden ergibt sich ein Widerspruch.

Gruß

19.12.2010, 17:42

Zero00000

Auf diesen Beitrag antworten »

sollte man die Verknüpfung nicht lieber durch richtige beispiele zeige?
zb: Sei v= (2,4,6,...,n) und w=(1,3,5,...,m) ?
zu (i) wie soll der widerspruchsbeweis mathematisch gehen?
würde es reichen, wenn man:
Annahme: sei V endlichdimensional
d.h. dim V=n
Jedoch gibt es unendlich viele lin. unabhängige vektoren in V (da V Menge aller reellen Zahlenfolge) Somit es ist ein Widerspruch..

19.12.2010, 18:09

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Ich nehm das mal wieder raus. War etwas Falsches dabei und zwei Helfer sind eh mehr als genug. Augenzwinkern

19.12.2010, 18:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@LoBi
die kanonischen (d.h standardmässigen) Verknüpfungen sind so in Ordnung. Damit ist V ein Vektorraum.
@Zero00000
durch Beispiele sollte man das nicht definieren, da es ja allgemein auch geht, sogar allgemein, also viel besser.
@LoBi
Deine "Basis von V" ist keine Basis von V, da sich Zahlenfolgen nicht als (endliche) Linearkombination der Basisvektoren darstellen lassen. Deine Menge B ist lediglich ein linear unabhängiges System. (tipp: also ist V nicht endlichdimensional). In der Aufgabe ist übrigens nicht nach einer Basis von V gefragt.

19.12.2010, 18:20

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Hier stand Quatsch.

19.12.2010, 18:44

Zero00000

Auf diesen Beitrag antworten »

B= (1,0,0),(0,1,0).....
und das alles n mal?? aber dadurch zeige ich es ja nicht wirklich...

19.12.2010, 19:23

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
[...]
@LoBi
Deine "Basis von V" ist keine Basis von V, da sich Zahlenfolgen nicht als (endliche) Linearkombination der Basisvektoren darstellen lassen. Deine Menge B ist lediglich ein linear unabhängiges System.

Ok hatte mittlerweile schon folgendes bei wikipedia gelesen:

Zitat:

Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{ (1,0,0,0,\ldots), (0,1,0,0,\ldots), (0,0,1,0,\ldots),\ldots \} \end{eqnarray*}$ zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge $\begin{eqnarray*} (1,1,1,1,\ldots) \end{eqnarray*}$ nicht davon erzeugt.

Zitat:

Original von Elvis
[...]
Deine Menge B ist lediglich ein linear unabhängiges System. (tipp: also ist V nicht endlichdimensional).

Ein Vektorraum egal welcher Dimension hat doch, auch wenn ich sie nicht bennen kann, eine Basis?
Für eine Basis gilt ja das sie eine maximal linear unabhängige Menge sein soll.(Auch bei unendlich-dim. VR?).

Meine oben definierte Menge B ist zwar keine Basis, aber eine linear unabhängiges System was unendlich Groß ist. Da eine Basis eine maximal l.u. Menge ist müsste diese ja dann auch unendlich gross sein. Damit müsste dann $\begin{eqnarray*} dim V = \infty \end{eqnarray*}$ sein.

Oder: Ich weiss $\begin{eqnarray*} (1,1,1,...) \in V \end{eqnarray*}$ . Es existiert aber keine Linearkombination von (1,1,1,...) Sprich: ich kann (1,1,1,...) nicht durch eine endliche linear unabhängige Menge erzeugen.
Das ist ja im grossen und ganzen das was im Wiki-Artikel steht. Nur wie zeige ich das.

Vielleicht durch widerspruch
Angenommen V sei endlich Sei $\begin{eqnarray*} \{b_1,..., b_n\}, b_i=(0,...,\underbrace{1}_{i},...,0), i \in \{1,...,n\} \text{eine Basis }\Rightarrow \text{jedes Element in V ist ein n-Tupel, alle Elemente aus V sind aber} \infty -\text{Tupel} \end{eqnarray*}$

Nee kommt mir beides irgendiwe komisch vor.

21.12.2010, 19:05

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eine Basis von V, es gibt ein unendliches linear unabhängiges System in V, also ist $\begin{eqnarray*} dim V=\infty \end{eqnarray*}$ . Soweit sind deine Schlussfolgerungen völlig in Ordnung.

(1,1,1,...) lässt sich selbstverständlich durch eine endliche linear unabhängige Menge erzeugen, nämlich z. B. durch die Menge {(1,1,1,...)} . Wikipedia sagt nur, dass z.B. diese Folge (und viele andere) nicht aus dem linear unabhängigen System {(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...),...} endlich erzeugt werden können. Deshalb ist dieses System keine Basis.

Neue Frage »

Antworten »

R-Vektorraum

Verwandte Themen