Basis von Hom

18.12.2010, 12:25

Zero00000

Basis von Hom

Meine Frage:
Seien V und W endlichdimensionale Vektorra ?ume u ?ber einem Körper K, {v1, . . . , vm} eine Basis in V und {w1,...,wm} eine Basis in W. Dann definieren wir fu ?r i ? {1,...,n} und j ? {1,...,m} die Abbildung Fij ? HomK (V,W) durch
Fij(vi)=wj undFij(vk)=0fu ?rk?=i. Zeigen Sie, dass die Menge F = {Fij|i = 1,...,n, j = 1,...,m} eine Basis von
HomK (V,W) ist.

Meine Ideen:
Ich hab gar keine ahnung was ich hier machen soll! Tipps wäre super!

danke im voraus!

18.12.2010, 12:28

Iorek

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Mit einer so hingeschluderten Aufgabe habe ich nicht wirklich Lust mich zu beschäftigen. unglücklich

Wie kann man Formeln schreiben?

18.12.2010, 14:13

Zero00000

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Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K, {v1, . . . , vm} eine Basis in V und {w1,...,wm} eine Basis in W. Dann definieren wir für i ∈ {1,...,n} und j ∈ {1,...,m} die Abbildung Fij ∈ HomK (V,W) durch
Fij(vi)=wj und Fij (vk)=0 für k8=i (k ungleich i). Zeigen Sie, dass die Menge F = {Fij|i = 1,...,n, j = 1,...,m} eine Basis von
HomK (V,W) ist.

sorry, habs gerade nicht gesehen.

18.12.2010, 14:41

Mulder

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So ist es doch gleich viel besser. Big Laugh

19.12.2010, 17:13

Zero00000

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Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K, {v1, . . . , vm} eine Basis in V und {w1,...,wm} eine Basis in W. Dann definieren wir für i $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,...,n} und j $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ {1,...,m} die Abbildung Fij $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ HomK (V,W) durch
Fij(vi)=wj und Fij(vk)=0 für k ungleich i. Zeigen Sie, dass die Menge F = {Fij|i = 1,...,n, j = 1,...,m} eine Basis von
HomK (V,W) ist.

19.12.2010, 17:29

system-agent

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Wenn ihr besprochen habt, dass jede Matrix genau einer linearen Abbildung und jede lineare Abbildung genau einer Matrix entspricht, dann könntest du die Aufgabe in der Matrizenversion lösen. Mache dir dazu klar wie die Matrix von $\begin{eqnarray*} F_{ij} \end{eqnarray*}$ bezüglich den beschriebenen Basen aussieht.

19.12.2010, 17:59

Zero00000

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F=

F11 F12 ... F1m

F21 F22 ... F2m
. . .
. . .
. . .
Fn1 Fn2 ... Fnm

aber meine idee:
bis jetzt haben wir immer gezeigt, dass (i) erzeugendensystem und (ii) lin. Unabhängigkeit... das könnte man hier doch irgendwie auch oder?

19.12.2010, 19:25

system-agent

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Zitat:

Original von Zero00000
F=

F11 F12 ... F1m

F21 F22 ... F2m
. . .
. . .
. . .
Fn1 Fn2 ... Fnm

Und was soll das sein?

Nur um es nochmal gesagt zu haben: Dein Vektorraum ist der Raum der linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , dh deine Vektoren sind hier Abbildungen !
Oder in der Matrixsprache ausgedrückt: Du hast hier den Raum aller mxn-Matrizen und mein Hinweis war, erstmal die betreffenden Matrizen der $\begin{eqnarray*} F_{ij} \end{eqnarray*}$ auszurechnen, in den angegebenen Basen.

Ja, natürlich musst du zeigen dass die $\begin{eqnarray*} F_{ij} \end{eqnarray*}$ den Raum aufspannen und linear unabhängig sind. Das ist schliesslich die Definition.

20.12.2010, 21:49

olga777

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und weiter?Ich komme nicht weiter Hammer

20.12.2010, 22:38

Ibn Batuta

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Wo hast du denn Probleme?

Ibn Batuta

20.12.2010, 23:00

Gast2012

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Hey,
ich funke mal dazwischen, da ich auch nicht so recht weiß, wie ich die Aufgabe lösen soll. (Das erste mal hier und dementsprechend sind noch meine Latex-Kentnisse)

Hier eine Abbildungsmatrix.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} F_{11} & \dots & {F_1m} \\ \dots & \dots & \dots \\ F_{n1} & \dots & F_{nm} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Man muss zeigen, dass die Elemente $\begin{eqnarray*} F_{11} \dots F_{n1} , \dots , F_{1m} \dots F_{nm} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
Dazu habe ich dann noch zu jeder Abbildung Fij geschrieben:
$\begin{eqnarray*} v\in V beliebig. F_{11}=\begin{cases} w_1, & \text{falls }v=v_1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
bis
$\begin{eqnarray*} F_{nm}=\begin{cases} w_m, & \text{falls }v=v_n\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt für mich die lin. Unabhängigkeit.

Beim EZS weiß ich gar nicht wie ich das anpacken soll.
Ich kann mir ein beliebiges w hernehmen und gewisse Abbildungen auf ein beliebiges v loslassen und es kommt mein w heraus.
Darauf baut das wohl alles.
Aber wie soll man das in Zeichenform bringen?

21.12.2010, 08:45

system-agent

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Nochmals:
Die $\begin{eqnarray*} F_{ij} \end{eqnarray*}$ sind Vektoren. Seit wann schreibt man Vektoren als Einträge in eine Matrix?

Also wir haben $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ mit Basis $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_m \end{eqnarray*}$ und die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} F_{ij}: V\to W \end{eqnarray*}$ definiert auf den Basisvektoren durch $\begin{eqnarray*} v_i\mapsto w_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_k\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\neq i \end{eqnarray*}$ .
Was ist denn nun die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} F_{ij} \end{eqnarray*}$ ?

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