[Artikel] Ableiten von 'x^x'

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[Artikel] Ableiten von 'x^x'
Hallo,

immer wieder taucht die Frage auf, wie man die Funktion mit ableiten kann.
Da hier immer wieder die selben Fehler begangen werden möchte ich mich dem Thema in diesem Artikel widmen.





Übersicht:
  1. Die falsche Anwendung der Potenzregel
  2. Die falsche Anwendung der Produktregel
  3. Das korrekte Ableiten mittels Ketten- und Produktregel
  4. Zusatz


1.

Die häufigste "Lösung", die man sieht, ist diese hier:



Diese ist aber falsch - warum? Die Potenzregel sagt: . Dies gilt aber nur für konstante Zahlen . In unserem Fall steht hier das alles andere als konstante und die Potenzregel kann daher nicht angewendet werden!

2.

Die Produktregel lässt sich hier aus diversen Gründen nicht (unmittelbar) anwenden. Das Problem ist, dass die Darstellung



hier trügerisch ist. Für stimmt das, aber bei uns ist und oder gar lässt sich so nicht mehr wirklich darstellen. Augenzwinkern
Das zweite Problem ist ähnlich zu dem aus 1.: Die Anzahl der Faktoren ist hier keineswegs unabhängig von , sie ist viel mehr gerade gleich . Man kann die Produktregel zwar auf endlich viele Faktoren verallgemeinern (klick), aber eben nicht für eine Anzahl, die von abhängt.



3.

Wie leitet man diese Funktion nun aber korrekt ab? Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Ich stelle hier diejenige vor, die für einen Schüler wohl die Verständlichste ist. Im Zusatz c) findet ihr eine weitere Möglichkeit verlinkt. Wir müssen uns zunächst einer simplen Umformung bedienen (siehe Zusatz a)):



Jetzt sehen wir, dass die Funktion eine Verkettung der e-Funktion und ist. Mit der Kettenregel (siehe Zusatz b)) folgt damit



Jetzt müssen wir also nur noch herausbekommen, wie die Ableitung von aussieht. Dazu können wir ganz bequem die Produktregel verwenden:



Und wenn wir das nun oben einsetzen erhalten wir als Lösung schließlich








4.

a) Im ersten Schritt verwendet man (die beiden Funktionen sind invers zueinander), im zweiten Schritt dann das Logarithmengesetz .

b) Hier gehe ich nochmal konkreter auf die Kettenregel ein. Für diejenigen Schüler, die es nicht kennen: Man schreibt oft und nennt die Exponentialfunktion.
Die Verkettung ist mit . Mit der Kettenregel ist dann also

,

denn wir wissen ja, dass die e-Funktion beim Ableiten sich selbst ergibt.

c) Es gibt noch die Möglichkeit, die Ableitung über die so genannte "Implizite Differentiation" zu bestimmen. Für Schüler ist dies aber nicht empfehlenswert, da dies i.d.R. nicht Stoff der Schule ist und daher die Gefahr besteht, dass es als falsch gewertet wird. Wer sich aber dafür interessiert, kann hier sehen, wie es geht.

d) In diesem Thread kam noch ein weiterer Hinweis. Mit erhält man die gesuchte Ableitung vermöge . Vielen Dank an Cel/tmo für den Hinweis.

air
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