Basis eines Vektorraums bestimmen

18.12.2010, 16:18

petr

Basis eines Vektorraums bestimmen

Die Aufgabe:

Bestimme eine Basis des fogelnden $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums.

{ $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij}) \in \mathbb R ^{2x2} : a_{11} + a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ }

Mein Ansatz:

Da es eine 2x2 Matrix ist hab ich mir gedacht, dass die Dimension des Vektorraums 4 ist. Also hab ich mir einfach mal 4 2x2 Matrizen aufgeschrieben die $\begin{eqnarray*} a_{11} + a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Beim überprüfen auf lineare Unabhängigkeit ist mir dann aufgefallen, dass eine Zeile immer wegfällt, da ja $\begin{eqnarray*} a_{11} = -a_{22} \end{eqnarray*}$ . Somit hab ich ja maximal 3 linear unabhängige Vektoren.

Wie gehe ich jetzt damit um? Um eine Basis eines 4 dimensionalen Vektorraums bestimmten zu können brauch ich ja 4 linear unabhängige Vektoren. Oder wird durch die Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} a_{11} + a_{22} = 0 \end{eqnarray*}$ vielleicht die Dimension des Vektorraums auf 3 reduziert?

18.12.2010, 16:22

jester.

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RE: Basis eines Vektorraums bestimmen

Zitat:

Original von petr
Beim überprüfen auf lineare Unabhängigkeit ist mir dann aufgefallen, dass eine Zeile immer wegfällt, da ja $\begin{eqnarray*} a_{11} = -a_{22} \end{eqnarray*}$ . Somit hab ich ja maximal 3 linear unabhängige Vektoren.

Heißt das du hast auf diese gefundenen Matrizen den Gauß-Agorithmus angewandt? Das ist nicht richtig, denn die Matrizen sind in diesem Raum die Vektoren, sie mit dem Gauß-Algorithmus zu bearbeiten ist also nicht sinnvoll.

Der angegebene Raum ist sicher nicht mehr 4-dimensional. Versuche doch einfach mal, eine Basis zu finden. Mit welchen vier Matrizen hast du denn bisher gearbeitet?

18.12.2010, 16:23

Cel

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Wie sieht denn eine Matrix aus dieser Menge aus. So:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt könntest du das als Summe von Matrizen schreiben und anschließend passende $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ausklammern. So siehst du, dass die Dimension tatsächlich 3 ist. Mein Verfahren liefert sogar eine Basis. Augenzwinkern

Aber das müsstest du dann schon noch nachweisen.

Edit: jester. macht weiter.

18.12.2010, 16:49

petr

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RE: Basis eines Vektorraums bestimmen

Zitat:

Original von jester.
Heißt das du hast auf diese gefundenen Matrizen den Gauß-Agorithmus angewandt? Das ist nicht richtig, denn die Matrizen sind in diesem Raum die Vektoren, sie mit dem Gauß-Algorithmus zu bearbeiten ist also nicht sinnvoll.

Ja hab ich. Wieso ist das denn nicht richtig? Wenn ich 2 2x2 Matrizen A, B hab und überprüfen will ob diese linear unabhängig sind:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} * \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \lambda_{2} * \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und daraus kann ich doch dann das machen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & b_{11} \\ a_{12} & b_{12} \\ a_{21} & b_{21} \\ a_{22} & b_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog dazu halt in meinem Fall mit 4 Matrizen.

Zitat:

Original von jester.
Der angegebene Raum ist sicher nicht mehr 4-dimensional.

Woher weiß ich denn genau dass der Raum nicht mehr 4-dimensional bzw. 3-dimensional ist

18.12.2010, 17:06

jester.

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Ok, das Verfahren so wie du es beschreibst geht in Ordnung. Ich hatte es so verstanden, dass du die Matrizen selbst (für sich alleine) mit Gauß bearbeitest.
Die 4x2-Matrix, die du nun erhalten hast, kannst du mit dem Gauß-Algorithmus auf ihren Rang untersuchen.
Was du dabei im Prinzip benutzt, ist die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2\times 2} \cong \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

Dass der der Raum nicht vierdimensional ist, liegt daran, dass eine Bedingung in der Menge steht, die nicht mehr von allen Matrizen erüllt wird. Es kann sich also nicht mehr um den ganzen Raum handeln und die Dimension ist somit kleiner als vier.

So, wenn du eine Basis angeben kannst, kennst du auch die Dimension. Hast du jetzt eine Basis bzw. einen Vorschlag, welche Matrizen eine Basis bilden könnten? Sonst folge dem Hinweis von Cel.

18.12.2010, 18:11

petr

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Zitat:

Original von jester.
Die 4x2-Matrix, die du nun erhalten hast, kannst du mit dem Gauß-Algorithmus auf ihren Rang untersuchen.

Ist der Rang der Matrix dann = der Dimension der Matrix?

Da der Raum 3-dimensional ist brauch ich ja 3 linear unabhängige Vektoren. Aber sind die Vektoren nicht immer linear abhängig weil ja in der letzten Zeile beim Gauß-Verfahren nur Nullen stehen?

Wären denn die Vektoren $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 11 & -2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis? Wenn man die letzte Zeile nicht beachtet wären diese linear unabhängig.

Was Cel mit der Summe von Matrizen meint weiß ich nicht so recht. Bzw. versteh ich nicht wie mich das weiter bringen soll

18.12.2010, 18:39

jester.

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1) Was soll denn die Dimension einer Matrix sein?

2)

Zitat:

Da der Raum 3-dimensional ist brauch ich ja 3 linear unabhängige Vektoren. Aber sind die Vektoren nicht immer linear abhängig weil ja in der letzten Zeile beim Gauß-Verfahren nur Nullen stehen?

Dass der Raum 3-dimensional ist, ist doch bisher immer noch nur eine nicht bewiesene Annahme. Du musst dich bitte außerdem klarer ausdrücken, bei welchem Gauß-Verfahren (was wird gegaußt?) stehen in der letzten Zeile nur Nullen? Vielleicht solltest du mal konkrete Rechenschritte zeigen.

Zitat:

Wären denn die Vektoren $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 11 & -2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis? Wenn man die letzte Zeile nicht beachtet wären diese linear unabhängig.

Das mit dem Nicht-Betrachten der letzten Zeile verstehe ich nicht. Bei den drei angegebenen Matrizen handelt es sich in der Tat um eine Basis, aber das wäre ja noch zu zeigen.

Das Verfahren von Cel führt dich auf eine "schönere" Basis, indem du die Matrix, die er notiert hat, nach den vorkommenden $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sortiert als Summe von drei Matrizen schreibst. Kannst du mit dieser Erklärung etwas anfangen? Ich glaube noch genauer kann man es nicht erklären, ohne die Rechnung schon komplett vorzumachen.

Also, so solltest du m.E. weiter vorgehen: Versuche, die "schönere" Basis zu finden, weise dann die lineare Unabhängigkeit der gefundenen Vektoren nach. Da es sich um drei linear unabhängige Vektoren handeln wird, wirst du dann fertig sein, da wir bereits geklärt haben, dass die Dimension kleiner als 4 sein muss.

18.12.2010, 19:27

petr

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Zitat:

Original von jester.
1) Was soll denn die Dimension einer Matrix sein?

Oh.. da mein ich die Dimension des Vektorraums.

Zitat:

Original von jester.
Dass der Raum 3-dimensional ist, ist doch bisher immer noch nur eine nicht bewiesene Annahme.

Aber zumindest weiß ich doch, dass die Dimension < 4 ist. Daher brauch ich maximal 3 linear unabhängige Vektoren.

Zitat:

Original von jester.
bei welchem Gauß-Verfahren (was wird gegaußt?) stehen in der letzten Zeile nur Nullen?

Nehmen wir die von mir angegebenen Vektoren und schreiben diese in eine Matrix, nach dem Prinzip wie in meinem zweiten Beitrag. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 11 & 7 & -3 \\ -2 & 3 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Addiert man jetzt die erste Zeile auf die Letzte, so wird diese 0 und damit sind die Vektoren ja eigentlich nicht mehr linear unabhängig.

Zitat:

Original von jester.
Also, so solltest du m.E. weiter vorgehen: Versuche, die "schönere" Basis zu finden, weise dann die lineare Unabhängigkeit der gefundenen Vektoren nach. Da es sich um drei linear unabhängige Vektoren handeln wird, wirst du dann fertig sein, da wir bereits geklärt haben, dass die Dimension kleiner als 4 sein muss.

Wenn ich dich richtig versteh:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & -a_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & -a_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Muss man nur noch zeigen, dass diese linear unabhängig sind.

18.12.2010, 19:38

jester.

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Doch, die Vektoren sind linear unabhängig. Du musst doch lediglich überprüfen, ob die Matrix vollen Rang hat. D.h. bei einer 4x3-Matrix kann doch in jedem Fall mindestens eine Nullzeile erzeugt werden.
Alternativ kannst du auch den Gauß auf den Spalten ausführen.

Du hast jedoch jetzt auch die schönere Basis gefunden, deren lineare Unabhängigkeit sich ebenfalls (und das auch weitaus leichter) mit diesem Verfahren erkennen lässt.

18.12.2010, 19:45

petr

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Stimmt... Da hatte ich einen kleinen Denkfehler.

Dann sag ich doch mal dankeschön :]

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