Lineare Unabhängigkeit zeigen

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Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit zeigen
Sitz hier gerade an einer Aufgabe und weiß nicht wie ich an sie herangehen soll.

Aufgabe:
In einem Vektorraum V über dem Körper seien gegebn mit
und

Zz: sind genau dann linear unabhängig, wenn linear unabhängig sind.

Wie fange ich da denn am besten an? Bin da im Moment ziemlich planlos
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Überlege einmal, was das bedeutet: , lässt v sich als Linearkombination von Vektoren aus U darstellen?

Dann kannst du das so zeigen dass du einmal Vorraussetzt, dass:

linear unabhängig linear unabhängig

und dann die andere Richtung:

linear unabhängig linear unabhängig.
 
 
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
v lässt sich nicht aus Linearkombinationen von Vektoren aus U darstellen. latex]v_n[/latex] lässt sich aus den Vektoren darstellen.
also sind linear unabhängig.

Jetzt komm ich aber immer noch nicht weiter.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Das ist richtig, was bedeutet das, wie lässt sich der Nullvektor dann als Linearkombination von darstellen?
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Der Nullvektor kann aus den Vektoren nur dann dargestellt werden wenn für gilt:
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Genau, und das benutzen wir jetzt:

Wir berachten:

Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ok.

Für die Richtung linear unabhängig linear unabhängig
Da ja die Vektoren linear unabhängig sein sollen muss sein.
Zeigen muss ich jetzt, dass deswegen nur für gilt.

Nur wieso ist das so?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Nein, dass musst du nicht zeigen, das setzen wir voraus und zeigen dann, dass für die linearkombination gelten muss .

Wir haben also die Linearkombination für .

Nun müssen wir folgern, dass unter dieser Vorraussetzung auch gilt
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ok...

Nur soll man zeigen, dass dann
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ich hab mal eine Frage, ist der Vektor den du benutzt denn das gleiche, wie der Vektor v?



Zitat:
Original von Kevv
Ok...

Nur soll man zeigen, dass dann


Was ist das denn für ein Satz: "Nur soll man zeigen, dass...."

Zuerst einmal setzen wir voraus, dass linear unabhängig sind, also hat die Linearkombination nur die triviale Lösung.

Fernerhin ist

Nun hat aber auch auch nur die trivialen Lösungen, also sind linear unabhängig.

Mit der linearen Unabhängigkeit von kann man nun zeigen, dass auch linear unabhängig sind.


Die Rückrichtung funktioniert dann analog.
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
ist nicht gleich
Es ist in der Aufgabe ja noch gegeben, dass und

Zitat:
Original von lgrizu
Was ist das denn für ein Satz: "Nur soll man zeigen, dass...."

Damit wollte ich dir nur sagen, dass du etwas anderes zeigen möchtest, als in der Aufgaben gefordert.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ich bin gerade wirklich ein wenig durcheinander gekommen, aber folgendes solltest du dir auf alle Fälle mal anschauen:

Zitat:
Original von lgrizu


Zuerst einmal setzen wir voraus, dass linear unabhängig sind, also hat die Linearkombination nur die triviale Lösung hat.

Fernerhin ist

Nun hat aber auch auch nur die trivialen Lösungen, also sind linear unabhängig.


Nun bist du dran, wie kann man daraus die lineare Unabhängigkeit von Schlussfolgern.
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Wie du ja gezeigt hast, wissen wir, dass linear unabhängig sind.


Und da ja die oben genannten Vektoren linear unabhängig sind, muss hier gelten

So richtig?

Und was mich noch ein wenig verwirrt...
In der Aufgabe steht ja . D.h. ja dass von den Vektoren aus U dargestellt werden kann. Aber wie du gezeigt hast ist ja von den anderen Vektoren linear unabhängig.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Ach M****, das habe ich vollständig überlesen.

Also noch mal von vorne:

Annahme: sind linear unabhängig, also hat die Linearkombination nur die trivialen Lösungen.

ist darstellbar als Linearkombination der Vektoren , also



Nun ist


Also sind die Vektoren linear unabhängig.

Betrachten wir nun


Und sortieren das um, so erhalten wir die lineare Unabhängigkeit von

So, ich hoffe, jetzt habe ich mich nicht mehr vertan.

Das ist auch schon hart an der Grenze, die Rückrichtung solltest du auf jeden Fall alleine machen
r00bert Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Zitat:
Original von lgrizu

Nun ist


Also sind die Vektoren linear unabhängig.


Warum sind dann l.u.? Und was passiert mit ?
Kevv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Habs jetzt hinbekommen....

Vielen Dank für die Hilfe
obiwan87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit zeigen
Wäre nett wenn du sagst wie das geht!
Danke
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