Untervektorraum untersuchen

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allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum untersuchen
Hallo, ich habe einen Vektorraum V über IR gegebenen. Die Menge V beschreibt dabei alle Folgen im Reellen mit . Jetzt habe ich eine Menge gegebenen und soll sagen ob dies ein Untervektorraum von V ist.

a) { ist beschraenkt }

Dies sind also alle Folgen, die beschränkt sind. Zu zeigen ist also zunächst, dass mit beschränkt ist auch beschränkt.
Jetzt weiß ich leider nicht ganz weiter, wie ich sowas beweisen soll. Beschränktheit bei Folgen habe ich immer gut mit Induktion hingekriegt. Nur bei 2 Folgen weiß ich nicht so recht weiter.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum untersuchen
Zunächst mal wäre auch noch anzugeben, dass diese Menge nicht leer ist (das ist trivial, aber gehört eben dazu).

Und naja, da die Folgen beschränkt sind, existieren ja auch jeweils Supremum und Infimum (bzw. generell irgendwelche oberen und unteren Schranken). Setze also zum Beispiel



Was kannst du über das Supremum der Summe sagen? Analog sollte natürlich auch noch etwas zum Infimum gesagt werden.
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Umh...es ist klar, wenn ich zwei Folgen addieren, dann auch jedes Folgenglied. D.h. ein Supremum muss immer noch existieren. Das gleiche gilt für das Infimum. Nur wie führe ich diesen Beweis?


Ausgehend von deiner Antwort:

Angenommen es sei


zu zeigen:



Im letzen Schritt fließt noch die Voraussetzung mit ein.

Ich denke das reicht oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von allahahbarpingok

Vom formalen Standpunkt aus finde ich diese Zeile ziemlich problematisch. Da sind irgendwelche Folgepfeile hingeklatscht, die da völlig deplatziert wirken. Inhaltlich meinst du aber wohl das richtige. Ausgehend von der Existenz der Suprema kannst du doch einfach schreiben:





Und damit ist A+B eine obere Schranke (Vorsicht, das ist nicht unbedingt auch das Supremum) und die Beschränktheit nach oben ist gezeigt.

Wie gesagt: Du muss nicht unbedingt mit den Suprema und Infima arbeiten, das klappt auch mit irgendwelchen oberen/unteren Schranken. Ist im Grunde egal.
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir bis dahin. Könnt grad wieder mein Kopf gegen ne Wand schlagen, wenn ich sehe wie unnötig kompliziert ich die Sachen immer ausdrücke.

Kannst du mir bei dieser Menge schnell weiterhelfen?

{ }



Sagt mir also, dass ab einem Index, alle Folgeglieder 0 sind. Jetzt hatte ich gleich an die Nullfolgen gedacht, jedoch nähern sich diese nur an 0 heran und werden nie 0. Das steht ja jetzt schon im Wiederspruch zur oben gennannte Menge. Also sind es wirklich alle Folge, die tatsächlich einfach mal 0 werden nach ein paar Gliedern? Kann mir keine Folge denken, die so wäre nur eine Konstante a_n = 0.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es denn mit ?
 
 
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, so einfach kann die Welt sein. Na gut, dann wäre ein simples Gegenbeispiel wohl:






Wenn ich jetzt die Folgen a_n und b_n addieren, kommt keine Folge mehr raus, ab dem n-ten Folgeglied alles 0 ist.


Wie kriege ich eigentlich Leerzeichen in Latex rein und diese große Klammer?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Folge liegt aber gar nicht in der Menge drin.
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht. Dann müsste es tatsächlich funktionieren.

Ich muss einfach den größeren Index n_{0} der beiden Folgen wählen. Und ab da sind dann alle Glieder 0. Wie könnte ich das aufschreiben? Ich hatte hier an max(n_0) oder sowas gedacht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

max(n_0) macht so keinen Sinn, das Maximum einer Zahl ist immer die Zahl selbst.

Seien , was kannst du dann über die Folgen sagen?

Schreib das sauber auf und dann steht es schon fast da.
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