Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

21.12.2010, 23:55

lern02

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Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Könnte mir jemand eine Denkanstoß geben wie ich hier anfangen soll:

Für alle n

0 mit n>=n0 gilt:2^n>2n

Das Thema ist neu und müssen des machen.
Ich brauch ja den Induktionsanfang,Voraussetzung und Schluss.

Wie fange ich hier an habe bis jetzt nur mit Summenformeln gerechnet und des ist die erste Aufgabe die so gestellt ist.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank

22.12.2010, 00:06

Math1986

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
Könnte mir jemand eine Denkanstoß geben wie ich hier anfangen soll:

Für alle n

0 mit n>=n0 gilt:2^n>2n

Das Thema ist neu und müssen des machen.
Ich brauch ja den Induktionsanfang,Voraussetzung und Schluss.

Wie fange ich hier an habe bis jetzt nur mit Summenformeln gerechnet und des ist die erste Aufgabe die so gestellt ist.

Ist dir das Prinzip der vollständigen Induktion klar?

-Du fängst am besten mit dem (Induktions)anfang an Big Laugh

Big Laugh

also du bestimmst hier eine möglichst kleine Zahl, für die die Behauptung erfüllt ist (was wäre denn die kleinste Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ?)

Dann nimmst du an, dass die Behauptung für alle natürlichen zahlen <= n erfüllt ist(Induktionsannahme)
und zeigst, dass die Behauptung für n+1 erfüllt ist
(dazu n+1 in gegebene Gleichung einsetzen und geeignet umformen)

22.12.2010, 00:08

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
IA: Wenn ich für n=1 einsetze kommt ja 2>2 des geht ja nicht

Setze ich dann n=2 ein kommt 4>4 geht ja auch nicht

Setzte ich n=3 ein kommt 8>6 das stimmt dann ist ja dann mein IA oder?

Dann IS

2^n+1>2n+1

wenn ich hier dann z.B. n=1 einsetzte kommt ja 4>3 stimmt ja auch.Ist das dann auch mein Ergebniss???

22.12.2010, 00:15

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
IA: Wenn ich für n=1 einsetze kommt ja 2>2 des geht ja nicht

Setze ich dann n=2 ein kommt 4>4 geht ja auch nicht

Setzte ich n=3 ein kommt 8>6 das stimmt dann ist ja dann mein IA oder?

Dann IS

2^n+1>2n+1

wenn ich hier dann z.B. n=1 einsetzte kommt ja 4>3 stimmt ja auch.Ist das dann auch mein Ergebniss???

nein, du setzt jetzt nicht 1 ein oder sonstwas, sondern du benutzt deine induktionsvorrausstzung um auf die gleichung, die du im induktionsschritt hast zu kommen. heißt du fängst an mit 2^(n+1) und formst um.

als anregung:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2 \cdot 2^n... \end{eqnarray*}$

bei "..." musst du jetzt ansetzen. sieh dir an, was ich vorher hingeschrieben habe. nutze deine induktionsvorraussetzung und setze diese ein. dann formst du die rechte seite um und bist fertig! Das n>=3 sein muss haste ja mit deinem Induktionsanfang festgelegt. du zeigst jetzt damit das es auch für jedes beliebige folgeglied von n>=3 funktioniert.

22.12.2010, 00:16

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
IA: Würd ich sagen die kleinste Zahl aus

ist die 3 also n0=3 oder?

IB
3 <= n

IS

wäre dann 2^n+1>2n+1 oder? Big Laugh

Big Laugh

22.12.2010, 00:17

Math1986

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
IA: Wenn ich für n=1 einsetze kommt ja 2>2 des geht ja nicht

Setze ich dann n=2 ein kommt 4>4 geht ja auch nicht

Setzte ich n=3 ein kommt 8>6 das stimmt dann ist ja dann mein IA oder?

Bis hierhin ist es richtig

Zitat:

Original von lern02
Dann IS

2^n+1>2n+1

wenn ich hier dann z.B. n=1 einsetzte kommt ja 4>3 stimmt ja auch.Ist das dann auch mein Ergebniss???

Hier wirds falsch:

Erstens: Achte bitte auf eine korrekte Klammersetzung (oder lerne Latex):
An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!
Im Forum kann ich nicht wissen was du meinst

Wenn du n+1 einsetzt dann kommt dabei raus:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}>2\cdot\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$
und genau diese Formel musst du nun beweisen (Beweis durch Beispiel funktioniert nicht)
Stelle den Term so um, dass du die Induktionsannahme verwenden kannst:
$\begin{eqnarray*} 2^n>2\cdot n \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung "2^n+1>2n+1" wäre nach den Regeln der Punkt- vor Strichrechnung fälschlicherweise:
$\begin{eqnarray*} 2^n+1>2\cdot n+1 \end{eqnarray*}$

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22.12.2010, 00:26

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Alles klar sorry wegen den Klammern gar nicht dran gedacht bin erste mal in einem Forum smile

smile

Also ich würds so umformen

2^(n+1)>2n+2

Dann könnte ich ja meine Induktionsannahme verwenden oder?

22.12.2010, 00:30

Math1986

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02

Also ich würds so umformen

2^(n+1)>2n+2

Dann könnte ich ja meine Induktionsannahme verwenden oder?

Du musst den linken Teil, so wie von alex2007 beschrieben, umformen und dann kannst du die Induktionsannahme verwenden
(das solltest du noch etwas ausführlicher zeigen, aber vom Prinzip her ist das richtig

22.12.2010, 00:32

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
Alles klar sorry wegen den Klammern gar nicht dran gedacht bin erste mal in einem Forum smile

smile

Also ich würds so umformen

2^(n+1)>2n+2

Dann könnte ich ja meine Induktionsannahme verwenden oder?

Das ist das, worauf du kommen musst. lies mal meinen Betrag oben, da hab ich schon den anfang für dich gemacht!!!

Du fängst mit der linken seite an, formst um, verwendest deine Induktionsannahme formst dann das rechts um, sodass du am ende auf dei rechte seite deiner gerade genannten ungleichung kommst!

22.12.2010, 00:48

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Alles klar hab jetzt verstanden wie man so ein Beweis macht.
1.

IA Haben wir ja mit n>=3 angesetzt

2.
IV Ist ja 2^(n+1)>2(n+1)

3.
IS Umformen der linken und rechten Seite mit unseren Induktionsannahme

Aber ganz dumme Frage wie Forme ich die 2^(n+1)=2*2^n noch weiter um?

22.12.2010, 00:54

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Oder ist

2*2^n>2n+2 schon mein Ergebniss? Big Laugh

Big Laugh

22.12.2010, 00:55

Math1986

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
Oder ist

2*2^n>2n+2 schon mein Ergebniss? Big Laugh

Big Laugh

Ja, aber da musst du noch ausführlich begründen wiso das gilt

22.12.2010, 00:57

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Nein, du hast es leider noch nicht so ganz richtig verstanden.

Unsere Induktionsannahme ist:

$\begin{eqnarray*} 2^n > 2n \, \forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

Unser Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=3: \, 8>6 \end{eqnarray*}$ erfüllt unsere annahme $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n_0=3 \end{eqnarray*}$

Jetzt folgt der Induktionsschritt:

Wir sagen jetzt also, wenn unsere Annahme richtig ist, dann gilt das auch für jeden beliebigen nachfolger von n (wir nehmen hierfür n+1) unter der bedingung $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 2(n+1) \, \forall n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ (Induktionsvorrausstzung)

und das machen wir so:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}= 2\cdot 2^n... \end{eqnarray*}$

und jetzt haste da sowas ähnlich wie deine Induktionsannahme (linke Seite)stehen. Nur ist hier einfaktor anders.

Wenn deine Annahme also $\begin{eqnarray*} 2^n > 2n \end{eqnarray*}$ heißt, was gilt dann wohl für $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ ????

Das ist hier die große Quizfrage ;-)

Danach biste quasi schon fertig

22.12.2010, 01:04

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Echt was wollen die da noch haben als Begründung wenn ich ja bei einer Summerformel des anwende kommt ja z.B. bei IS das gleiche links und rechts raus und dann bin ich ja fertig und schreib mein q.e.d. hin Big Laugh

Big Laugh

Was sollte ich da noch schreiben?

22.12.2010, 01:06

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Also ich weis ja nicht, welch Genie du sein willst, aber ich behaupte kein normaler mensch sieht sofort, dass:

2*2^n>2n+2

Das wäre total unbegründet. Warum ist denn nun 2*2^n > 2n+2...das sollst du ja rechnerich zeigen. Wenn du mal genau meinen post liest siehste was ich meine. Ein zwischenschritt muss schon sein

22.12.2010, 01:06

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
Echt was wollen die da noch haben als Begründung wenn ich ja bei einer Summerformel des anwende kommt ja z.B. bei IS das gleiche links und rechts raus und dann bin ich ja fertig und schreib mein q.e.d. hin Big Laugh

Big Laugh

Was sollte ich da noch schreiben?

Das kann man weg löschen hab des neue von Alex noch nciht gesehen gehabt Big Laugh

Big Laugh

22.12.2010, 01:12

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02

Zitat:

Original von lern02
Echt was wollen die da noch haben als Begründung wenn ich ja bei einer Summerformel des anwende kommt ja z.B. bei IS das gleiche links und rechts raus und dann bin ich ja fertig und schreib mein q.e.d. hin Big Laugh

Big Laugh

Was sollte ich da noch schreiben?

Das kann man weg löschen hab des neue von Alex noch nciht gesehen gehabt Big Laugh

Big Laugh

Dann schreib jetzt mal deine Lösung auf für die Beweisführung!

22.12.2010, 01:18

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Alex Sorry aber ich komm echt nicht auf die Quizlösung...entweder es ist zu spät oder ich bin zu dumm unglücklich

unglücklich

22.12.2010, 01:29

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
oder meinst du des so 2*2^n > 2n+2 $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ n>= n0

22.12.2010, 01:43

alex2007

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl

Zitat:

Original von lern02
Alex Sorry aber ich komm echt nicht auf die Quizlösung...entweder es ist zu spät oder ich bin zu dumm unglücklich

unglücklich

Niemand ist zu dumm. In Betrachten dessens, dass du es versuchst, aber offenscihtlich nicht weis was wir von dir wollen, helf ich mal nach. Das Prinzip der vollständigen Indukltion lernt man nur so, wenn man gezeigt bekommt wie es geht.

Also wir wollten zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}>2(n+1) \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}= 2\cdot 2^n... \end{eqnarray*}$

Da ich weis, dass (laut meiner Annahme) $\begin{eqnarray*} 2^n>2n \end{eqnarray*}$ setze ich dass nun hier ein:

$\begin{eqnarray*} ...>2\cdot 2n=4n \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} n_0=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} 4n \geq 3n+3 = 3\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

und wenn ich jetzt noch wach genug bin, dann sehe ich, dass:

$\begin{eqnarray*} 3\cdot (n+1) > 2\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

q.e.d

Das war jetzt schritt für schritt, für dich erklärt, damit du siehst, wie man das ganze folgert. Aufschreiben musst du es natürlich in einem ganzen, was so aussehen würde:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}= 2\cdot 2^n> 2\cdot 2n= 4n \geq 3n+3 =3\cdot (n+1) > 2(n+1) \end{eqnarray*}$
q.e.d.

über das relations zeichen zwischen $\begin{eqnarray*} 4n \geq 3n+3 \end{eqnarray*}$ schreibste: wegen $\begin{eqnarray*} n\geq3 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe dir ist jetzt klar wie das ganze läuft. Du verwendest deine Annahme um deine Induktionsvorraussetzung zu beweisen. Und Setzt deine Bedingung (n>= 3) irgendwie mit ein.

smile

smile

22.12.2010, 01:56

lern02

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RE: Vollständige Induktion Bestimme jeweils eine möglichst kleine natürliche Zahl
Ah ok jetzt wird mir klarer was du vorhin gemeint hast smile

smile

Du hast auf jeden Fall recht wenn man einmal einen Lösungsweg sieht wie der ganze Beweis gemacht wird ist des für mich jetzt auch leichter des nachzuvollziehen und auch auf andere Aufgaben anzuwenden.

Ich habe jetzt das System verstanden und mache zur Übung noch paar Aufgaben.

Ich danke dir vielmals das du dir Zeit genommen hast bei so später Stunde! smile

smile

Vielen Dank nochmal und eine gute Nacht bis zum nächsten mal Big Laugh

Big Laugh

29.12.2010, 16:58

Benchy

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Kann man für den Beweis:

$\begin{eqnarray*} n^2<=2^n \end{eqnarray*}$
für alle n € natürlichen Zahlen\ {3}.

zweimal den Induktion anwenden ?

29.12.2010, 17:03

alex2007

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Zitat:

Original von Hobbykokser
Kann man für den Beweis:

$\begin{eqnarray*} n^2<=2^n \end{eqnarray*}$
für alle n € natürlichen Zahlen\ {3}.

zweimal den Induktion anwenden ?

Wie 2mal anwenden? Verstehe die Frage nicht wirklich verwirrt

verwirrt

29.12.2010, 17:18

Benchy

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Also

1. IA ---> n=1, n=2; sogar n=3, um zu zeigen, dass die Aussage für n=3 nicht gilt.

2. IS n----> n+1

durch Umformung $\begin{eqnarray*} n^2+2n+1<=2^n+2^n \end{eqnarray*}$

IV genutzt: $\begin{eqnarray*} n^2<=2^n \end{eqnarray*}$

jetzt muss nur noch gezeigt werde: $\begin{eqnarray*} 2n+1 <= 2^n \end{eqnarray*}$ für alle n > 3

Und das habe ich wieder induktiv bewiesen.

Kann man es so machen?

29.12.2010, 17:24

Math1986

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1)

Zitat:

Original von Hobbykokser
Also

1. IA ---> n=1, n=2; sogar n=3, um zu zeigen, dass die Aussage für n=3 nicht gilt.

Dann musst du den Anfang aber bei n=4 machen und es separat für n=2,3 zeigen, da du keine "Unterbrechung" in deiner Induktion haben darfst

Der Rest sieht richtig aus

29.12.2010, 17:30

Benchy

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cool

smile

danke.

1

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