rang Beweis |
22.12.2010, 12:21 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
rang Beweis z.z.: rang A = rang(S*A*T) Ich habe mir gedacht, dass ich mir erstmal Gedanken mache, was da überhaupt für eine Matrix entsteht, wenn ich das Produkt der drei Matrizen bilde. Also ich erhalte für S*A eine mm Matrix und multipliziere ich diese mit T erhalte ich eine mn Matrix. Nenne ich dieses Produkt A' kann ich ja sagen, dass A und A' beide aus Mat(mn) kommen aber dadurch ist noch lange nicht der rang gleich... |
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22.12.2010, 12:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: rang Beweis Man könnte z.B. die Kerne vergleichen. Sind die von gleicher Dimension? Da S und T regulär sind, sollte man das zeigen können. |
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22.12.2010, 13:23 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also da S und T als GL kommen ist ker(T)=ker(S)=0. Allerdings haben wir noch nicht viel mit kern gerechnet und ich glaube den Beweis müsste ich auch selbst erbringen, dass da null rauskommt. Die Dimension vom Kern von S & T dürfte demnach null sein. |
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23.12.2010, 11:53 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich habe mir nochmal Gedanken gemacht - ich multipliziere ja zu erst S und A. Dabei besitzt S auf jeden Fall vollen rang, A aber nicht zwangsläufig. Jedoch sollte die Produktmatrix den rang von A annehmen (im Kopf wird mir das klar aber mathematisch kann ich es nicht zeigen...) und die Produktmatrix, die jetzt den rang a hat wird mit einer vom rang m multipliziert. a ist kleiner/gleich m und deswegen wird auf jeden fall der rang a angenommen da immer der kleinere entscheidend ist und a ist ja immer noch der rang von A. Aber irgendwie klappt da die mathematische Übersetzung nicht... oder ist das mit kern doch einfacher und ich sehe es nur nicht!? |
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23.12.2010, 13:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Betrachte mal den Kern von A. Kann man da eine Bijektion zum Kern von SAT formulieren? |
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23.12.2010, 13:53 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
ker(A) sind alle Lösungen von Ax = 0. ker(SAT) sind alle Lösungen von (SAT)x = 0. Wobei ich weiß, dass für Sx und Tx x=0 ist, da ker = 0 äquivalent zur Invertierbarkeit ist. Nur kann ich deshalb nicht S & T einfach außen vorlassen und schreiben ker(A) = ker(A) oder? |
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23.12.2010, 14:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, ich sagte doch schon, was zu suchen ist. Auf was muss T einen Vektorv abbilden, damit SATv=0 gilt? |
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23.12.2010, 16:40 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn T alles auf null abbildet, sollte auch SATv = 0 sein. |
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23.12.2010, 20:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
T bildet nur die 0 auf die 0 ab. Du bist immer noch nicht auf meine Frage eingegangen. Worauf muss das v abgebildet werden? |
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28.12.2010, 11:31 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Puuh... ich komme einfach nicht drauf. Nach dem Hinweis, dass T die 0 auf 0 abbildet hätte ich Identität gesagt, was aber irgendwie auch keinen Sinn macht, da dann ja SATv nicht immer 0 wäre. |
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28.12.2010, 13:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Rechnest du mit mit meiner Weihnachtsstimmung? Gehen wir Rückwärts vor. S bildet nur die 0 auf die Null ab. Was bildet A auf die 0 ab? |
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28.12.2010, 13:56 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das was auf die null abbildet ist ja lt. Definition der kern (deswegen bilden S & T auch nur die null auf die null ab, da sie aus Gl kommen). Das hieße demnach natürlich auch, dass ker(A) auf null abbildet. Aber ich weiß ja nicht wie A aussieht (außer, dass es eine mxn Matrix ist. Also kann ich allg. den Kern auch nicht angeben oder? Wenn ich ein Bsp. angeben darf wie ich das meine. m=n=3: und als weiteres Beispiel, m=3,n=2 |
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28.12.2010, 14:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
S bildet nur die 0 auf die Null ab. Was bildet A alles aus dem Kern(A) auf 0 ab. Auf was muss also T einen Vektor v abbilden, damit am Ende gilt: SATv=0? Auf einen ... der im .... von .... liegt. |
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28.12.2010, 14:13 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Auf einen Vektor der im Kern von A liegt |
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28.12.2010, 14:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jabbadabbaduh! Um nun die Dimensionen vergleichen zu können, könnte es noch eine Rolle spielen, dass T ja auch regulär ist. Kommen wir so nun auf die Bijektion, nach der ich schon mal gefragt hatte? |
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29.12.2010, 11:57 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
A und SAT sind beides mxn Matrizen. Auf eine Bijektion komme ich gerade überhaupt nicht - ker(A) ist nicht zwangsläufig ker(SAT)!? |
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30.12.2010, 15:24 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
wobei Bijektion ja schon impliziert, dass ker(A) genauso groß ist wie ker(SAT)... |
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30.12.2010, 15:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du solltest dich zu fragen beginnen, was die Urbilder des Kerns von A unter T sind.... |
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31.12.2010, 11:07 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also T bildet einen Vektor v ja auf einen Vektor, der im Kern von A liegt ab. Die Urbilder des Kerns von A unter T sind dann das Gegenteil also wieder der Vektor v!? |
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31.12.2010, 15:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
Verstehe kein Wort. Sei v aus . Dann ist . Sei nun v nicht aus . Dann ist . Da S regulär ist, gilt auch .... Nun im Detail überlegen, wie das Urbild . Bedenken, dass T regulär ist und somit kommt man am Ende darauf, dass beide A und SAT den gleichen Defekt und damit den gleichen Rang haben. |
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02.01.2011, 15:39 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Puuh ich glaube soweit sind wir noch gar nicht - gibt es eigentlich einen anderen Weg dies zu beweisen? Trotzdem erstmal vielen Dank für Erklärungen und Geduld |
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03.01.2011, 20:47 | -_- | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe es dadurch bewiesen, dass ich gesagt habe S & T sind nichts anderes als Produkte von Elementarmatrizen. Also werden diese Elementarmatrizen, die S bzw. T bilden an A von links bzw. rechts multipliziert. Dies bedeutet ja nur, dass elementare Zeilen- und Spaltenumformungen bei A stattfinden. Und diese ändern ja nicht den Rang einer Matrix. |
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