rang Beweis

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rang Beweis

z.z.: rang A = rang(S*A*T)

Ich habe mir gedacht, dass ich mir erstmal Gedanken mache, was da überhaupt für eine Matrix entsteht, wenn ich das Produkt der drei Matrizen bilde. Also ich erhalte für S*A eine mm Matrix und multipliziere ich diese mit T erhalte ich eine mn Matrix. Nenne ich dieses Produkt A' kann ich ja sagen, dass A und A' beide aus Mat(mn) kommen aber dadurch ist noch lange nicht der rang gleich...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rang Beweis
Man könnte z.B. die Kerne vergleichen. Sind die von gleicher Dimension? Da S und T regulär sind, sollte man das zeigen können.
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Also da S und T als GL kommen ist ker(T)=ker(S)=0. Allerdings haben wir noch nicht viel mit kern gerechnet und ich glaube den Beweis müsste ich auch selbst erbringen, dass da null rauskommt.
Die Dimension vom Kern von S & T dürfte demnach null sein.
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Also ich habe mir nochmal Gedanken gemacht - ich multipliziere ja zu erst S und A. Dabei besitzt S auf jeden Fall vollen rang, A aber nicht zwangsläufig. Jedoch sollte die Produktmatrix den rang von A annehmen (im Kopf wird mir das klar aber mathematisch kann ich es nicht zeigen...) und die Produktmatrix, die jetzt den rang a hat wird mit einer vom rang m multipliziert. a ist kleiner/gleich m und deswegen wird auf jeden fall der rang a angenommen da immer der kleinere entscheidend ist und a ist ja immer noch der rang von A. Aber irgendwie klappt da die mathematische Übersetzung nicht...

oder ist das mit kern doch einfacher und ich sehe es nur nicht!?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte mal den Kern von A. Kann man da eine Bijektion zum Kern von SAT formulieren?
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ker(A) sind alle Lösungen von Ax = 0. ker(SAT) sind alle Lösungen von (SAT)x = 0. Wobei ich weiß, dass für Sx und Tx x=0 ist, da ker = 0 äquivalent zur Invertierbarkeit ist. Nur kann ich deshalb nicht S & T einfach außen vorlassen und schreiben ker(A) = ker(A) oder?
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich sagte doch schon, was zu suchen ist. Auf was muss T einen Vektorv abbilden, damit SATv=0 gilt?
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn T alles auf null abbildet, sollte auch SATv = 0 sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

T bildet nur die 0 auf die 0 ab. Du bist immer noch nicht auf meine Frage eingegangen. Worauf muss das v abgebildet werden?
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Puuh... ich komme einfach nicht drauf. Nach dem Hinweis, dass T die 0 auf 0 abbildet hätte ich Identität gesagt, was aber irgendwie auch keinen Sinn macht, da dann ja SATv nicht immer 0 wäre.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnest du mit mit meiner Weihnachtsstimmung? Gehen wir Rückwärts vor.

S bildet nur die 0 auf die Null ab.

Was bildet A auf die 0 ab?
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Das was auf die null abbildet ist ja lt. Definition der kern (deswegen bilden S & T auch nur die null auf die null ab, da sie aus Gl kommen). Das hieße demnach natürlich auch, dass ker(A) auf null abbildet. Aber ich weiß ja nicht wie A aussieht (außer, dass es eine mxn Matrix ist. Also kann ich allg. den Kern auch nicht angeben oder?
Wenn ich ein Bsp. angeben darf wie ich das meine.
m=n=3:


und als weiteres Beispiel, m=3,n=2
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

S bildet nur die 0 auf die Null ab.

Was bildet A alles aus dem Kern(A) auf 0 ab.

Auf was muss also T einen Vektor v abbilden, damit am Ende gilt:

SATv=0?

Auf einen ... der im .... von .... liegt.
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Auf einen Vektor der im Kern von A liegt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Jabbadabbaduh!

Um nun die Dimensionen vergleichen zu können, könnte es noch eine Rolle spielen, dass T ja auch regulär ist. Kommen wir so nun auf die Bijektion, nach der ich schon mal gefragt hatte?
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A und SAT sind beides mxn Matrizen. Auf eine Bijektion komme ich gerade überhaupt nicht - ker(A) ist nicht zwangsläufig ker(SAT)!?
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

wobei Bijektion ja schon impliziert, dass ker(A) genauso groß ist wie ker(SAT)...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dich zu fragen beginnen, was die Urbilder des Kerns von A unter T sind....
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Also T bildet einen Vektor v ja auf einen Vektor, der im Kern von A liegt ab.
Die Urbilder des Kerns von A unter T sind dann das Gegenteil also wieder der Vektor v!?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe kein Wort.

Sei v aus . Dann ist . Sei nun v nicht aus . Dann ist . Da S regulär ist, gilt auch ....

Nun im Detail überlegen, wie das Urbild . Bedenken, dass T regulär ist und somit kommt man am Ende darauf, dass beide A und SAT den gleichen Defekt und damit den gleichen Rang haben.
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Puuh ich glaube soweit sind wir noch gar nicht - gibt es eigentlich einen anderen Weg dies zu beweisen?
Trotzdem erstmal vielen Dank für Erklärungen und Geduld smile
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es dadurch bewiesen, dass ich gesagt habe S & T sind nichts anderes als Produkte von Elementarmatrizen. Also werden diese Elementarmatrizen, die S bzw. T bilden an A von links bzw. rechts multipliziert. Dies bedeutet ja nur, dass elementare Zeilen- und Spaltenumformungen bei A stattfinden. Und diese ändern ja nicht den Rang einer Matrix.
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