a*b=0 im Körper und im Ring? |
| 20.11.2006, 22:47 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| a*b=0 im Körper und im Ring? ich hab da mal so ein kleines Problem; ich soll zeigen das in einem Körper K gilt: a*b=0 => a=0 oder b=0. Dieser Teil der Aufgabe ist mir noch klar und konnte ich mit den Axiomen vom Körper aufzeigen. Nun soll ich aber die Fragen: "Kann diese Folgerung in jedem Ring gezogen werden?", beantworten. Kann mir da jemand weiterhelfen? |
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| 20.11.2006, 22:57 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kernfrage: Was ist der Unterschied zwischen Körper und Ring ? bzw. was ist die Definition eines Rings? |
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| 20.11.2006, 23:04 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben den Körper halt mit den normalen Körperaxiomen definiert, und gesagt, dass beim Ring M3, also das inverse Element bezüglich der Multiplikationnicht, nicht existiert. Die anderen Axiome des Körpers aber gelten sollen. |
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| 20.11.2006, 23:11 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, bei manchen Ringen fehlt sogar noch zusätzlich das neutrale Element der Multiplikation, die 1 z.b. In einem Körper kann man die Gleichung a*b=0 einfach nach a umformen indem man durch b teilt. Aber im Ring gibts kein 1/b , d.h. wir dürfen nicht durch b teilen. Habt ihr in dem Zusammenhang schon etwas über Restklassen-Ringe oder Matrizen-Ringe durchgenommen ? Sagt dir Nullteiler-Freiheit etwas oder nilpotente Matrix ? mfg, phi |
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| 20.11.2006, 23:18 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das mir das Element 1/b fehlt, war mir noch so klar. Da ich eben dies für den Beweis im Körper benutzt habe und ich ja laut Definitinon des Ringes dieses Element nicht habe im Ring. Die restlichen Zusammenhänge die du erwähnst haben wir aber leider noch nicht gesehen. Also Restklassen ansich schon, aber nicht im Bezug auf Ringe. Wie soll ich den das nun aufschreiben? mfg troy |
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| 20.11.2006, 23:22 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldigt die direkte Frage. Bin schon etwas übermüdet, aber sollte auf keinen Fall unhöflich rüberkommen. 
aber nun mal so grundlegen: gilt es nun für die Ringe oder nicht? mfg |
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| 20.11.2006, 23:45 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber bei einem Ring (M,+,*) ist aber laut unseres Definition aus der Vorlesung für die Multiplikation das inverse Element nicht definiert. Somit fehlt mir genau das 1/b oder das 1/a. Somit kann ich doch nicht das b als 1/a definieren. Ansonsten hätte ich ja das Problem nicht. Denn das einizge was mir nicht klar ist. Wie ich die Beh. zeigen kann ohne 1/a bzw. 1/b zu benutzen. Also es gleich auszurechnen wie beim Körper. Ist mein Problem nun klarer? mfg |
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| 20.11.2006, 23:56 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mir wurde hier eine Antwort geklaut. deshalb die zusammenhangslose neue Antwort. Sorry. "Butter bei die Fische: In einem Ring mit der Operation ° gibt es zu jedem a ein eindeutiges (!) Inverses a^-1, sodass a°a^-1=0. Es istalso b=a^-1, wenn man annimmt, dass diese Null das neutrale Element von ° (kann man ja machen). Also? "(von sqrt(2)) mfg |
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| 21.11.2006, 00:30 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das war Müll, weil ich irgendwie "Gruppe" mit "Ring" durcheinanderbekommen habe (ziemlich kaputt, ich weiß...). Weil der Beitrag nicht zu retten war, hab ich ihn komplett entfernt, sorry.
Du wirst die Behauptung nicht zeigen können, weil sie falsch ist. Restklassenringe als Beispiel hat Phi ja schon genannt. Ein solches Gegenbeispiel anzugeben würde die Sache natürlich lösen. |
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| 21.11.2006, 00:35 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Restklassen sind ein prima Beispiel für Ringe bei denen manche inverse Elemente enthalten und andere nicht. Sei Z_n ein Restklassenring. Wenn n=p eine Primzahl ist (keine Teiler) dann existieren inverse Elemente, und alles läuft wie in einem Körper. (ist dann sogar ein Körper) Z.b. p=5: in Z5 ist 2*3=1, also sind 2 und 3 zueinander invers. Sei jetzt n keine Primzahl, z.B. n=6, was aus zwei Teilern 2 und 3 zusammengesetzt ist. Dann ist in Z6: 2*3=0 !! genauer: (2*3)mod 6 =0 Hierzu sagt man Z6 ist nicht Nullteilerfrei. Dagegen sind Primzahlen-Ringe immer Nullteilerfrei. Jedenfalls hättest du bei Ringen wie R6, R10 Produkte a*b=0, ohne dass a oder b Null zu sein bräuchten.
PS: Das mit dem Butter & dem verschwundenen Beitrag von sqrt2 hab ich nicht ganz verstanden....die Antwort ist vermutlich "42" 
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| 21.11.2006, 07:25 | troya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke vielmal. ich werde das Gegenbeispiel Modulo 6 verwenden, um zu zeigen das es nicht glit. Nochmal Besten Dank. mggfg troy |
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