Newton-Verfahren

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Dennis2010 Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren
Meine Frage:
Für sei
für
für .

Sei Startwert des Newton-Verfahrens zur Bestimmung der Nullstelle von f.

a) Für welche konvergiert das Newton-Verfahren?

b) Zeigen Sie, dass das Newton-Verfahren für nur linear konvergiert.

Meine Ideen:
Zu a)

Wie kann man hier anfangen?

Ich habe mir gedacht, man könnte erstmal die Iterationsvorschrift aufschreiben:



Und dann weiß ich aus der Vorlesung, dass es folgende Formel gibt, die die Konvergenzordnung angibt:

mit und .

Für muss c hierbei aus dem offenen Intervall (0,1) stammen.

Wenn ich dies nun auf meine Aufgabe a) anwende (und zwar erstmal für den Fall, dass , so erhalte ich:

für

Wenn ich nun im Nenner wähle, so erhalte ich einen Ausdruck, der kleiner als eine Konstante ist. Demnach würde ich jetzt meinen hier wäre für alle das Newton-Verfahren konvergent.

Nun würde ich entsprechend den Fall behandeln, dass gilt. Aber hierzu muss ich wohl erst wissen:

Ist meine Herangehensweise überhaupt richtig?
Welcher Ansatz wäre vorzuziehen?



Ich freue mich, wenn mir jemand helfen könnte!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Kürze den letzten Doppelbruch (bezüglich Neben- und dann auch Hauptbruchstrich).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Okay, ich kürze das mal:

Dann erhalte ich:




Und nun?


Achso, damit sieht man ja, dass nicht kleiner als 0,5 sein darf, weil das Verfahren sonst divergiert. Richtig?


Aber das ist doch jetzt nur für der Fall, oder?
Denn für würden sich die ja nicht wegkürzen und immer Nenner bliebe stehen.



edit von sulo: Dreifachpost zusammengefügt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Ja, so sehe ich es auch.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Die Frage a) ist ja, für welche das Newton-Verfahren konvergiert.

Ist die Antwort dann: für alle ?



Was ich mich dann frage, ist:

Was ist denn hier gemeint?
Für welche konvergiert das Newton-Verfahren: Das kann ja bedeutet: linear konvergent, quadratisch konvergent usw.

verwirrt

Ich wollte nur ergänzend mitteilen, dass für den Fall, dass ist, übrigens genau das gleiche Resultat herauskommt, nämlich dass das Verfahren für konvergiert.

Nun zum Aufgabenteil b):

Ich muss zeigen, dass das Newton-Verfahren hier für nur linear konvergiert.

Wie kann man vorgehen?
Einfach mal annehmen, das Verfahren wäre beispielsweise quadratisch konvergent und dann das zum Widerspruch führen?

edit von sulo: Vierfachpost zusammengefügt.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Der Quotient hat sich als konstant (1-1/alpha) erwiesen. Somit wächst für p>1 über alle Grenzen (die Nennerbasis ist Nullfolge).
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren
Ja, richtig!!

Mir war das auch gerade aufgefallen, wollte es gerade hier hinschreiben.

Du warst schneller und hast es besser formuliert, als ich es gekonnt hätte.


Vielen Dank für die Antwort!
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