fixpunkt

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sis_s Auf diesen Beitrag antworten »
fixpunkt
Meine Frage:
hallo,
kann mir jemand in einfachen worten mal erklären was überhaupt ein fixpunkt ist. und dazu vllt ein einfaches beispiel das wäre echt super

Meine Ideen:
.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der sich unter einer Abbildung nicht verändert, er erfüllt also die Gleichung .

Anschauliches Beispiel: Stelle dir eine Tasse Kaffee vor. Jetzt rührst du den Kaffee um solange du willst. Es gibt dann immer mindestens einen Punkt im Kaffee, der an der genau selben Stelle ist wie vor dem Rühren - egal wie du rührst (solange du den Kaffee nicht verschüttest etc.).
Das ist natürlich nur ein "grobes Beispiel". Ein mathematischeres Beispiel:

. Setze nun eben f(x)=x und du erhälst x=-1 als Fixpunkt.

air
plato_12 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo airblader ich habe da eine frage wieso setzt man den f(x)=x also hier
2x+1=x |-x
x=-1

wofür ist dieser fixpunkt gut. und wieso muss y=f(x) y=x schneiden wieso diese gerade
ich verstehe das einfach nicht.
ps: hatte eben mein passwort vergessen ist mir grad wieder eingefallen deswegen mit sis.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Fixpunkte spielen eben in vielen Anwendungen eine wichtige Rolle. Das mit dem Kaffee ist zwar nun nicht "wichtig", aber das Ergebnis ist ja durchaus interessant. Man kann auch zeigen, dass du z.B. egal wie du eine Kugel drehst, ein Punkt immer an der selben Stelle bleibt (man kann noch mehr sagen, aber das erfordert tiefergehendes Wissen).

Wie gesagt: Ein Fixpunkt ist ein Punkt x, der sich unter einer Abbildung f nicht verändert. Er ist hinterher also einfach wieder x. Das gibt uns die Gleichung f(x)=x.
Du kannst diese Gleichung nun auch anders auffassen: Links und rechts stehen Funktionen, deren Schnittpunkte du willst (darum sind sie gleichgesetzt). Du suchst also die Schnittpunkte von f(x) und der Geraden y=x. Das ist nur eine andere Sichtweise auf das Problem.

Noch eine Bemerkung: In diesem einfachen Fall von einer Funktion, die eine reelle Zahl auf eine reelle Zahl abbildet, sind Fixpunkte durchaus nicht sooo interessant. Du kannst ja auch mehrdimensionale Funktionen betrachten etc.

air
plato_12 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die die funktion 2x+1 mal eingezeichnet die nullstelle ist ja offentsichtlich 0.5 der fixpunkt ist -1 nochmal kurz zum verständnis der fixpunkt quasi eine annäherung zu der nullstelle.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nicht im Geringsten. Ist mir auch ein Rätsel wo du diese Idee hernimmst. Ich habe jetzt mehrfach gesagt was ein Fixpunkt ist - lies dir einfach nochmal meine Erklärungen durch, die mit "Ein Fixpunkt ist ..." anfangen.

air
 
 
plato_12 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe hier ne aufgabe
versuchen sie nullstellen von f(x)=x³-x+0.3 mittels fuxpunktiteration zu finden:
hier wird die formel f(x)+x=x benutzt. also
x³-x+0.3+x=x
x³+0.3=x
kannst du mir vllt bitte noch erklären wieso du diese formel nicht benutzt hast f(x)+x=x ich glaube ich bringe i´hier einiges durcheinander
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du bringst wirklich einiges durcheinander!

1. Nullstellen erfüllen
2. Fixpunkte erfüllen

Beides sind erstmal verschiedene Dinge. Wenn du jetzt aber die Nullstellen von f(x) suchst (1.), so kannst du erstmal auf beiden Seiten 'x' addieren:



Wenn du die linke Seite nun als neue Funktion betrachtest, so hast du nun ein Fixpunktproblem (2.), für welches du ein Lösungsverfahren kennst bzw. kennen solltest.

Du überführst ein Nullstellenproblem also in ein Fixpunktproblem.

air
plato_12 Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine frage zeichnet man dazu immer die winkelhalbierende ein und die schnitpunkte sind die fixpunkte wenn ja hab ich es verstanden smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Für Funktionen von IR nach IR kann man das immer so veranschaulichen. Eine Lösung ist irgendeine Zeichnung aber nicht - du sollst Lösungen ja (exakt) berechnen.

air
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