Untermannigf. [Diff'geometrie]

25.12.2010, 13:27

Idiot

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Untermannigf. [Diff'geometrie]

Hallo,

ich soll eine Aufgabe bearbeiten, aber die Aufgabenstellung ist so unsauber formuliert, dass sie keinen Sinn für mich macht. Nun möchte ich zunächst einmal verstehen bzw. herausbekommen, was der Aufgabensteller sich dabei gedacht hat. Das ist ein wenig schwierig, wenn man sich mit der Materie nicht besonders gut auskennt. Darum würde ich micht freuen, wenn ihr mir hier helfen könntet:

Hier zunächst die Aufgabenstellung im Orginallaut:
"Zeigen Sie, dass M eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit N ist <=> jeder Punkt $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U_p \subset N \end{eqnarray*}$ besitzt, s.d. $\begin{eqnarray*} U_p \cap M \end{eqnarray*}$ eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von U ist."(alle vorkommenden Mannigf. sollen glatt sein)

Also wir haben eine Umf. nicht so definiert, dass sie eine Teilmenge der zu ihr gehörigen mfk ist, sondern wir haben nur gefordert, dass es eine Einbettung geben muss. Darum machen die oben angegebenen beziehungen keinen sinn, z.B. $\begin{eqnarray*} U_p \subset N \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ . dementsprechend auch $\begin{eqnarray*} U_p \cap M \end{eqnarray*}$ .
Ebenso stellt sich die Frage, was die Menge U sein soll.

Ich hatte mir überlegt, dass es $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_p \subset M \end{eqnarray*}$ heißen müsste. Aber dann macht der Ausdruck $\begin{eqnarray*} U_p \cap M \end{eqnarray*}$ keinen sinn mehr.
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. In Büchern habe ich bisher solch eine Aussage auch nicht gefunden.

Vielen Dank und viele Grüße

25.12.2010, 15:02

sergej88

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Hallo,

kannst du den genauen Wortlaut euerer Definition angeben? Schliesslich müsste man ja genau damit arbeiten. Zb. Unter Wikipedia ist auch die Definition mit einer Einbettung, eben halt über Karten, so wie ich das kenne...

Wobei ich die Vorraussetzungen erstmal als ok ansehe. Man muss das jetzt mit eurer Definition vergleichen, dann klappt das schon smile

smile

mfg

25.12.2010, 19:27

Idiot

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Hallo,

also unsere genaue Definition lautet:

Sei M eine Mannigfaltigkeit. N heißt eine Untermannigfaltigkeit von M <=> es eine glatte Einbettung j:N->M gibt.

Das ist alles!
Mehr haben wir nicht verlangt.Wobei Einbettung bedeutet, dass j eine Immersion ist und zusätzlich homöomorph zum Bild.

Gruß

28.12.2010, 01:09

Idiot

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Also kennt keiner solch einen ähnlichen Satz wie in der Aufgabenstellung?

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Grüße

28.12.2010, 07:34

gonnabphd

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Hallo,

Ich denke, es wird hier einfach M identifiziert mit dem Bild j(M) unter der Einbettung j. (für "=>")

Und für "<=" dasselbe, nur diesmal setzt man für jeden Punkt p eine Einbettung einer offenen Umgebung von p in eine offene Teilmenge von N voraus.

Wink

Wink

29.12.2010, 00:43

Idiot

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Vielen Dank für deine Hilfe. Das mit der identifizierung von M und j(M) scheint mir logisch zu sein. Zumindest macht die Aufgabenstellung Sinn. Was ist nun mit der Menge U? Soll das U eventuell das $\begin{eqnarray*} U_p \end{eqnarray*}$ sein?

("<=") meinst du hier, dass man also das $\begin{eqnarray*} U_p \end{eqnarray*}$ doch als Teilmenge von M nimmt?

Wenn ja, dann verstehe ich aber nicht, wo da noch die äquivalent bleibt?

Wir hätten dann z.Z.:

"=>"
M UMF von N => $\begin{eqnarray*} \forall p \in M \exists U_p \subset N \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} U_p \cap f(M) \end{eqnarray*}$ eine UMF von $\begin{eqnarray*} U_p \end{eqnarray*}$ ist

"<="
falls für alle $\begin{eqnarray*} p \in M \exists U_p \subset M \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} U_p \end{eqnarray*}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray*} U \subset N \end{eqnarray*}$
=> M UMF von N

Kann man nicht vielmehr die 1. Richtung (=>) einfach umkehren. D.h. gilt nicht eine äquivalenz in dieser Aussage?

Grüße

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30.12.2010, 21:39

gonnabphd

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Zitat:

Kann man nicht vielmehr die 1. Richtung (=>) einfach umkehren. D.h. gilt nicht eine äquivalenz in dieser Aussage?

Doch, so war mein Beitrag auch gemeint.

01.01.2011, 21:12

Idiot

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Alles klar, vielen Dank für Eure Hilfe!

Die Hinrichtung(=>) habe ich zeigen können. Nun habe ich Probleme bei der Rückrichtung.

Ich habe folgendes versucht:

Sei j:M->N eine Abbildung derart, dass zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_p \subset N \end{eqnarray*}$ existiert derart dass $\begin{eqnarray*} U_p \cap j(M) \end{eqnarray*}$ eine m-dimensionale UMF von N ist.

nun muss man zeigen, dass j eine Einbettung ist.

Aber die injektivität ist mir bereits nicht klar.

Grüße

02.01.2011, 17:03

gonnabphd

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Die Abbildung muss nicht injektiv sein (jedenfalls sehe ich keinen Grund, weshalb das so sein sollte). z.B. erfüllt eine 'smooth covering map' (glatte Überlagerung?) diese Eigenschaften, aber das ist ja dann eher das "Gegenteil" einer Einbettung.

Vielleicht haben wir die Aufgabe ja auch falsch interpretiert. Schau mal hier (Lemma 8.1)

Das war mir eigentlich als erstes in den Sinn gekommen, aber es passt halt nicht so ganz zu euerer Definition einer Untermannigfaltigkeit (da vorausgestzt wird, dass M Teilmenge von N ist).

verwirrt

verwirrt

*ratlos*

g'phd

02.01.2011, 18:09

Idiot

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Ja das stimmt. Dort wird eine andere Definition von UMF verwendet.

Kann es sein, dass folgende Aussage gilt?:

j:M->N ist eine injektive glatte Einbettung (also immersion und topologische Einbettung)
<=>j ist eine injektive immersion und eine lokale Einbettung(d.h. zu jedem punkt $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ gibt es eine Umgebung U , s.d. U homöomorph zu $\begin{eqnarray*} \phi(U) \subset N \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass diese äquivalenz gilt? also Die eine Richtung ("=>") ist ja schon fast trivial durch $\begin{eqnarray*} \phi = j \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Was ist mit "<="? Ich sehe nicht so gleich, ob das so gilt.

Aber ich habe so eine Andeutung in meinem Skript gefunden, ohne Beweis. Vielleicht ist ja das mit der Aufgabe gemeint?

Gruß

02.01.2011, 18:14

gonnabphd

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Ja, diese Äquivalenz stimmt. Und es wäre tatsächlich gut möglich, dass die Aufgabe das meint.

Edit: im Allg. natürlich nur

s.d. U homöomorph zu $\begin{eqnarray*} \phi(U) \subset N \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \phi(U) \end{eqnarray*}$ mit der Unterraumtopologie betrachtet wird.

02.01.2011, 18:22

Idiot

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Ah vielen Dank. Also da ich ebenso wie du sehr verwirrt bin, werde ich einfach dies versuchen zu Beweisen.

Also für die Rückrichtung kann es ja sehr wohl sein, dass es verschiedene $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ 's gibt, in Abhängigkeit vom Punkt p bzw. Umgebung U_p.

Somit kann man nicht einfach j(p):= $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (p) setzen.

Hast du einen Tipp für mich, wie man die Abbildung j definieren könnte?

edit:
Ja, ich denke auch, dass M homöomorph zu j(M) bzgl. Teilraumtopologie gemeint ist.

Gruß

02.01.2011, 18:38

gonnabphd

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Hmm, jetzt sagst du wieder was anderes als oben ^^.

Was ich als richtig bezeichnet habe, ist folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} j: M \to N \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Dann ist j genau dann eine glatte Einbettung, wenn j eine injektive immersion und lokale Einbettung ist.

Das würde auch in etwa dem Lemma aus meinem Link entsprechen.

02.01.2011, 18:42

Idiot

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Ah natürlich!!! Entschuldige bitte. Ich bin sehr überarbeitet momentan.

Ok, d.h. man nimmt an, dass j eine lokale einbettung ist und muss zeigen, dass j auch globale einbettung ist.

Das einzige Problem, welches sich stellt ist: man muss zeigen, dass j und
j^-1 stetig ist.
Da muss ich mal drüber nachdenken.

edit:

Also jetzt sehe ich, dass du j als differenzierbar jeweils voraussetzt. Muss man das?

02.01.2011, 19:18

gonnabphd

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Zitat:

Also jetzt sehe ich, dass du j als differenzierbar jeweils voraussetzt. Muss man das?

Nein. Es gilt auch (und das ist das entscheidende hier):

j ist Homöomorphismus genau dann, wenn j bijektiv und lokaler Homöomorphismus ist.

02.01.2011, 21:41

Idiot

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Hallo,

also ich habe jetzt einen Beweis dafür, dass j und $\begin{eqnarray*} j^-1 \end{eqnarray*}$ stetig sind.
Aus irgendeinem unerklärlichen Grund erscheint mir der Beweis etwas merkwürdig zu sein. Einen möglichen Fehler erkenne ich jedoch nicht. Darum möchte ich euch bitten, kurz drüber zu schauen.

Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} j: M->f(M) \subset N \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} U \subset N \end{eqnarray*}$ offen => $\begin{eqnarray*} U \cap f(M) \end{eqnarray*}$ offen in f(M).

Nun gibt es nach vor. zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} p \in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_p \end{eqnarray*}$ , s.d.
$\begin{eqnarray*} j_{|U_p} \end{eqnarray*}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray*} j(U_p) \end{eqnarray*}$ ist.
Ebenso gilt dann $\begin{eqnarray*} M= \bigcup U_p \end{eqnarray*}$

Dann gilt
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U \cap f(M))=f^{-1}(U \cap (\bigcup f(U_p)))=\bigcup f^{-1}(U \cap f(U_p)) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} U \cap f(U_p) \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} f(U_p) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U \cap f(U_p))=f^{-1}(U) \cap U_p \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} U_p \subset M \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ offen in M
(Hier bin ich mir nicht ganz sicher).

Analog geht das für die Stetigkeit von f^-1

Besten Dank nochmal!

02.01.2011, 22:42

gonnabphd

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Ja, das sollte so passen, denke ich (hoffen wir mal, dass wirklich danach gefragt war Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Gruss Wink

Wink

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