Frage zu Basis von Kern und Bild

25.12.2010, 15:39	mathe31941	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Basis von Kern und Bild Hallo ich studiere in der 1 Semester., und bereite gerade für Klausur vor. Filgende Aufgabe habe ich versucht zu lösen, jedoch komme ich damit nicht klar, kann jemand mir bitte helfen. Aufgabe seien A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 &1 &-4 \\ 1 &1 &-2 \\ 3 &1 &-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und v = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a)Bestiimen sie eine Basis von Ker(A)und zeigen Sie, dass v $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Im(a). Hinweis: Beides kann man in einm "Rutsch" machen. b) Zeigen Sie, dass jedes Element aus Ker(A) in Im(A) ernthalten ist. Hinweis: Das sieht man der Matrix auf den ersten Blick an, wenn man weiß wie die Elementeaus Ker(A) ausssehen c)Bestimmen Sie dim Im(A), dim (Ker(A) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Im(A)) und dim (Ker(A)+Im(A)) Zu der Aufgabe A habe ich golgendes gemacht, -Das Bild ist das Spaltenrau Im(A)= < $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > dass v $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Im(a) 5 = 3a + 1b -4c 3 = 1a + 1b -2c 5 = 3a +1b -4c a=0 b=1 c= 1 Basis von Kern(A) bestimmen, hier habe ich die Matrix mithulfe von Gaus-Jordan nach Treppenform umgewandelt, dann komme ich nicht mehr weite $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelesen habe ich auch, dass man Basis von der oben genannten Ergebniss nehmen soll also a, b und c. Ker(A) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zu Aufgabe B und C könnt ihr mir bitte auch Tipps geben Ich danke euch.
25.12.2010, 15:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zu Basis von Kern und Bild [Artikel] Basis, Bild und Kern Man sieht bei (a) ja sehr schön, wie das Urbild von v aussieht. Deinen Kern kann ich nicht nachvollziehen. Ein nichttriviales Element sieht man A auch direkt an. Und dann mach der Hinweis auch sehr viel Sinn, wenn man die Spalten von A nochmal anschaut.
05.01.2011, 18:55	Tuni	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, die gleiche Aufgabe mache ich auch gerade um die Basis vom Kern auszurechnen, musst du die erweiterte Matrix mit 0 als Lösungsmenge aufstellen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 &1 &-4 &0 \\ 1 &1 &-2 &0 \\ 3 &1 &-4 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann machst du die Treppennormalform und es müsste sowas rauskommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 &0 &-1 &0 \\ 0 &1 &-1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und die Zeilen, die keine Nullzeilen sind, sind Basisvektoren vom Kern, also: Basis v. Ker(A)=< $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ > Aufgabe b) wusste ich leider selber nicht und zu Aufgabe c): 1. dimension ist die Anzahl der Basisvektoren. Die Dimension vom Kern ist also =2. 2. Für das Bild muss du also zuerst die Basis ausrechnen (Transponierte von A aufstellen und dann Treppenform und wieder die Zeilen, die keine Nullzeilen sind). Die dimension vom Bild =2. 3. Um die Basis von Ker+Im zu berechnen, nimmst du die Basisvektoren vom Kern und Bild und schreibst die jeweils als Zeile zusammen in eine neue Matrix. Dann wieder die Treppenform bilden und die Zeilen zählen, die keine Nullzeilen sind. Die Dimension ist da also =3. 4. für (Ker(A) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Im(A)) gibt es dann die Formel: *dim (ker+Im) = dim Ker + dim Im - dim (Ker $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Im)* das nach (Ker $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Im) auflösen und da kommt raus: 2+2-3 = 1. Die Dimension von (Ker(A) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ Im(A)) ist also =1.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »