Goniometrischen Term umwandeln

27.12.2010, 19:38

Lupoo

Goniometrischen Term umwandeln

Hallo,
schon wieder bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, wo ich auf ein Ergebnis komme, doch in der Lösung steht ein anderer Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} 12- \frac{36\sin(\alpha ) }{\sin(\alpha + 59,04°)\cdot \sqrt{34} } \end{eqnarray*}$ (mein Ergebnis)

$\begin{eqnarray*} 10,29\cdot \frac{\cos(\alpha ) }{\sin(\alpha + 59,04°) } \end{eqnarray*}$ (Lösung)

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einen Winkel einsetze, dann kommt bei beiden das gleiche raus. Also müsste das irgendwie umformbar sein....

Freu mich auf Antworten!

29.12.2010, 12:00

Gualtiero

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RE: Goniometrischen Term umwandeln
Mir ist kein direkter Weg einer Umformung bekannt.
Aber wenn das die Lösung einer (geometrischen?) Aufgabe ist, kann es durchaus zwei Möglichkeiten geben. Dann solltest Du die ganze Aufgabenstellung posten.

29.12.2010, 12:34

Lupoo

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ok, dann poste ich die ganze Aufgabe:
1.0 Das gleichschenklige Trapez ABCD mit [AB] || [CD] ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Der Mittelpunkt von [AB] ist E, der Mittelpunkt von [CD] ist F. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über F mit [FS](Länge)=10cm.
[AB](Länge)=12cm
[CD]=8cm
[EF]=6cm
1.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [EF] soll auf der Schrägbildachse liegen. q=0,5 w=45°
1.2 [PnQn] sind parallele Strecken zu [AB] mit Pn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [AS] und Qn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [BS]. Dadurch entstehen Trapeze DCQnPn. Die Strecken [FMn] mit Mn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [ES] sind die Trapezhöhen. Ferner sei "phi"=Winkel EFMn.
Zeichne das Trapez DCQ1P1 ein mit "phi"=65°.
1.3 Berechne das Maß "epsilon" des Winkels SEF.
1.4 Berechne die Länge [EMn] in Abhängigkeit von "phi".
1.5 Berechne das Maß "phi"2, für das die zugehörige Streckenlänge [FM2] minimal wird. Gib [FMmin] an.
1.6 Berechne die Winkelmaße des Trapezes DCQ2P2 und seinen Flächeninhalt.
1.7 Berechne die Länge von [SMn] in Abhängigkeit von "phi"
1.8 Berechne die Streckenlängen [PnQn] in Abhängigkeit von "phi".

Die Aufgaben von 1.1 - 1.7 sind kein Problem, nur die 1.8....

29.12.2010, 13:48

wisili

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RE: Goniometrischen Term umwandeln

Zitat:

Original von Lupoo
$\begin{eqnarray*} 12- \frac{36\sin(\alpha ) }{\sin(\alpha + 59,04°)\cdot \sqrt{34} } \end{eqnarray*}$

Wenn du gleichnamig machst und im Zähler das Additionstheorem noch anwendest, bekommst du den Lösungsterm (bis auf Rundungsfehler).

Anstelle von 59.04° müssten $\begin{eqnarray*} 2 \, arctan \left(\frac{5}{3+\sqrt{34}} \right) \end{eqnarray*}$ und anstelle von 10.29 müssten $\begin{eqnarray*} 30 \sqrt{\frac{2}{17}} \end{eqnarray*}$ verwendet werden.

29.12.2010, 14:24

mYthos

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Die Lösung - etwas allgemeiner (-> Sinussatz und Ähnlichkeit) berechnet - würde dann lauten:

$\begin{eqnarray*} y = \frac {60 \cos \varphi}{\sqrt{34} \cdot \sin (\varphi + \arctan \frac 5 3)} \end{eqnarray*}$

mY+

29.12.2010, 15:30

Gualtiero

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Ich muss auch nochmal nachhaken.
@Lupoo, den letzten Satz Deines letzten Beitrags interpretiere ich so, dass Dir bei 1.8. noch etwas unklar ist. Es geht also auch um die geometrische Lösung.
Damit man das leichter besprechen kann, hier eine Skizze (hoffentlich alles richtig umgesetzt):

[attach]17327[/attach]

In Teilaufgabe 1.7. hast Du ja die Strecke SMn in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ (blau) schon berechnet.
Wenn Du den Strahlensatz schon kennst, kannst Du sagen:

Strecke AB verhält sich zu Strecke SE wie Strecke PnQn zu Strecke SMn.

29.12.2010, 19:37

Lupoo

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@Gualtiero Eigentlich hab ich 1.8 schon kapiert und hab das auch mit dem Vierstreckensatz gemacht, aber ich bin auf eine andere Formel gekommen.
@wisili sehr gute Idee gleichnamig zu machen und danach Additionstheorem anzuwenden Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{12\cdot \sqrt{34} \cdot \sin(\alpha ) \cdot \cos(59,04°) + 12\cdot \sqrt{34} \cdot \cos(\alpha ) \cdot \sin(59,04°) - 36\cdot \sin(\alpha ) }{\sin(\alpha + 59,04°) \cdot \sqrt{34} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich es noch weiter umforme, dann komm ich auf die Lösung.
Danke an alle! smile

29.12.2010, 19:49

mYthos

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Diese lange Wurst bietet keinen Vergleich zu dem sehr kurzen von mir gezeigten Resultat. Man sollte halt wissen, wie man effizienter rechnet und dahin gelangt.

mY+

29.12.2010, 20:28

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} y = \frac {60 \cos \varphi}{\sqrt{34} \cdot \sin (\varphi + \arctan \frac 5 3)} \end{eqnarray*}$

Und warum dann nicht gleich

$\begin{eqnarray*} y = \frac{60}{5 + 3 \tan \varphi} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

29.12.2010, 20:37

mYthos

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Es ist tatsächlich noch zu toppen! Big Laugh

mY+

29.12.2010, 22:01

wisili

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Zitat:

Original von mYthos
Diese lange Wurst bietet keinen Vergleich zu dem sehr kurzen von mir gezeigten Resultat. Man sollte halt wissen, wie man effizienter rechnet und dahin gelangt.

@Lupoo
Lass dich von solchen Überheblichkeiten nicht beirren und verunsichern. So geht es eben zu im matheboard. Du hast «(mein Ergebnis)» und «(Lösung)» nicht als äquivalent erkennen können. Meinen Tipp dazu hast du vollständig verstanden und die Frage damit erledigt.

Edit: Habe 2 Wendungen gelöscht.

29.12.2010, 23:05

tigerbine

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Zitat:

Original von wisili
@Lupoo
Lass dich von solchen narzistischen Überheblichkeiten nicht beirren und verunsichern. So geht es eben zu im matheboard.

Diese Aussage kann und will ich so nicht stehen lassen. Sollte es zu Missverständnissen zwischen usern kommen, ist das Mittel der pn zu wählen, um den Sachverhalt zu klären. Eine Diffamierung des Boards ist inakzeptabel.

01.01.2011, 20:09

mYthos

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Meine Äußerung sollte so verstanden werden, dass erstens das Resultat wesentlich einfacher (höchstwahrscheinlich auch auf einem einfacheren Weg) zu erzielen gewesen wäre, als es dann am Ende da stand und zweitens ein ellenlanger, nicht endberechneter Ausdruck als Ergebnis unvollständig zu werten ist, weil er eben nicht weit genug vereinfacht wurde. Dies ist auch didaktisch zu kritisieren und kann meistens auch einen Punkteabzug nach sich ziehen.

Es gab also meinerseits eine durchaus beabsichtigte - zugegebenermaßen vielleicht nicht ganz glücklich formulierte - leichte Kritik an der Rechenweise von Lupoo. Wobei zu bemerken ist, dass sein erstes Ergebnis ohnehin kürzer war als der dann später nachfolgende lange Term. Woher und wie er diesen bezogen hatte, ist mir rätselhaft und ging ja aus dem Verlauf des Threads ebenfalls nicht hervor.

@wisili
In keiner Weise sehe ich deine beleidigende Reaktion als gerechtfertigt an und werde eine solche niemals akzeptieren. Da du dir offensichtlich eine Entschuldigung nicht abringen kannst, betrachte ich uns beide als geschiedene Leute.

mY+

04.01.2011, 20:42

wisili

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Hier hat ein Moderator meinen Beitrag gelöscht.

Deshalb nochmals:
Nachdem Lupoo seine Aufgabe fertig gelöst hatte, hat er in seinem Eröffnungsbeitrag seine einzige Frage dieses Threads gestellt: Wie kann man einen dort vorgelegten goniometrischen Term in einen anderen überführen?
Auf meinen Tipp hin ist ihm die Umformung gelungen und er wollte es mit einer Zeile als erledigt vorführen.
Daraufhin hat mYthos dies als lange «Wurst» bezeichnet und getadelt, man sollte halt wissen, wie man effizienter rechnet. Ich überlasse es dem Leser zu urteilen, wer hier wem eine Entschuldigung schuldet.

[attach]17409[/attach]
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