[Artikel] 0,999... = 1?

27.12.2010, 20:55

Airblader

[Artikel] 0,999... = 1?

Hallo,

immer wieder kommen die Fragen auf:

Zitat:

Gilt $\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ wirklich? Warum gilt es? Wie kann man das beweisen? Warum ist dieser und jener Beweis falsch?

Ich möchte hier in einem geordneten Artikel ein- für alle Mal eine Möglichkeit schaffen, sich über gängige Missverständnisse zu informieren.

1. Die Gültigkeitsfrage

Zunächst einmal: Ja, diese Gleichung stimmt wirklich!
Dies scheint für viele Menschen (insbesondere Schüler) immens unvorstellbar zu sein, ist aber wirklich der Fall. $\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sind ein- und dieselbe Zahl. Augenzwinkern

Warum dem so ist - dem möchten wir im Verlauf dieses Artikels auf den Grund gehen.

2. Der Beweis

Vorab: Für diesen Beweis benötigen wir die folgenden Dinge:

Zunächst einmal müssen wir den Ausdruck " $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ " unter Kontrolle bekommen, denn per se ist überhaupt gar nicht klar, was damit gemeint ist. Dazu benötigen wir etwas Wissen über Dezimaldarstellungen von Zahlen. Für diese Zahl ist jede (Nachkomma-)Ziffer eine '9' und wir können die Zahl damit wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} ~=~ 0.9 + 0.09 + 0.009 + \ldots ~=~ \frac{9}{10^1} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \ldots ~=~ \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$

Jetzt sehen wir, dass dies eine geometrische Reihe ist, die allerdings mit Index k=1 statt k=0 beginnt. Mit einer Indexverschiebung erhalten wir damit

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} = 9 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{10^k} = 9 \cdot \left( \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^k - 1\right) \end{eqnarray*}$

Für die Reihe im Inneren können wir dann die Formel für eine geometrische Reihe anwenden:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9} \end{eqnarray*}$

Setzen wir dies oben ein, so erhalten wir schließlich die gewünschte Identität

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = 9 \cdot \left( \frac{10}{9} - 1\right) = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1 \end{eqnarray*}$

3. Falscher Beweis #1

Oft sieht man folgenden angeblichen Beweis:

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{3} = \frac13 ~\Leftrightarrow~ 3 \cdot 0.\overline{3} = 3 \cdot \frac13 ~\Leftrightarrow~ 0.\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$

Warum ist dieser Beweis falsch? Ich möchte hier den User Dual Space zitieren:

Zitat:

Original von Dual Space
Ich frage mich, warum alle Welt ohne mit der Wimper zu zucken glaubt, dass $\begin{eqnarray*} 0,33\overline{3} = \frac13 \end{eqnarray*}$ , aber wenn man ihnen dann erzählt, dass $\begin{eqnarray*} 0,99\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ ist drehen sie durch und suchen nach Argumenten, die dagegen sprechen könnten.

Das Problem mit diesem "Beweis" ist also, dass man insgeheim das Problem nur etwas verschiebt und so vertuscht, dass es überhaupt ein Problem gibt - man entzieht sich nämlich der Problematik, sich über Dezimaldarstellungen einen Kopf zu machen. Wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} 0.\overline{3}=\frac13 \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre dieser Beweis korrekt - doch in der Regel "weiß" man das eben nicht, sondern hat es höchstens mal in der Schule gesagt bekommen. Dies zu glauben ist aber absolut gleichwertig damit, "0,999... = 1" zu glauben - und auf dieser Gleichwertigkeit basiert der angebliche Beweis.

4. Falscher Beweis #2

Eine Argumentation, die man auch gelegentlich antrifft, ist die Folgende:

Zitat:

Wenn zwischen zwei (reellen) Zahlen keine andere Zahl mehr liegt, dann sind sie gleich. Und zwischen 0.999.... und 1 liegt keine weitere Zahl!

Der Gedanke ist dabei eigentlich sogar richtig. Dennoch stellen sich zwei Probleme:

Die Aussage, dass aus der Nicht-Existenz einer Zahl zwischen zwei anderen, die Gleichheit dieser beiden Zahlen folgt, müsste man erstmal beweisen. Dafür würde man dann Körperaxiome der reellen Zahlen benötigen etc.
Auch die Aussage, dass es keine weitere Zahl zwischen 0.999... und 1 gibt, müsste erst noch bewiesen werden - denn sonst ist es eine reine Behauptung.

Dennoch - diese Argumentation eignet sich für Schüler ganz gut, um die Gleichheit der Zahlen plausibel zu machen. Sind zwei Zahlen a und b nämlich echt verschieden, so liegt zum Beispiel (a+b)/2 auch echt zwischen ihnen. Man kann diesen Pseudo-Beweis dann nun als "Spiel" betrachten: "Nenne mir eine Zahl, die dazwischenliegt, und ich zeige dir, dass sie nicht dazwischenliegt!".
Mit einem Beweis hätte dies allerdings nicht viel zu tun. Augenzwinkern

5. Warum diese Gleichheit so ein Problem ist ... und warum sie es nicht sein sollte!

Wie kommt es nun dazu, dass so viele Menschen damit ein Problem haben? Dies liegt wohl darin begründet, dass wir Menschen Schwierigkeiten damit haben, uns Unendlichkeiten vorzustellen. Die Zahl $\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} \end{eqnarray*}$ hat unendlich viele 9en, aber wirklich vorstellen können wir uns das nur schwer (falls überhaupt). Und da stoßen dann viele Menschen auf das Problem, dass sie sich insgeheim nur endlich viele 9en vorstellen und dann denken, es gibt eine Zahl zwischen 0,999... und 1. Und mit nur endlich vielen 9en wäre das auch korrekt - aber genau das ist der Knackpunkt: Wir haben unendlich viele 9en und daher gibt es eben keinen solchen Abstand zwischen den beiden Zahlen (der Abstand ist ganz exakt 0 - er ist nicht nahe bei Null oder annähernd Null oder konvergiert gegen Null ... er ist Null!).

Man sollte sich davon aber nicht verrückt machen lassen. Beide Schreibweisen sind einfach nur Darstellungen für ein- und dasselbe Objekt. Dies ist ja aber auch gar nichts Ungewöhnliches, denn in der Mathematik gibt es für viele Zahlen verschiedene Darstellungen.
Ein banales Beispiel dafür ist $\begin{eqnarray*} 0.5 = \frac12 = \frac24 \end{eqnarray*}$ . Das sind drei von unendlich vielen verschiedenen Darstellungen für eine einzige Zahl und hier hat wohl auch niemand Probleme (hier muss man sich aber auch keiner Unendlichkeit stellen). Es gibt aber auch durchaus komplexere Beispiele wie zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sup \left\{x \in \mathbb{R}^+ ~\left|~ \int_1^x \frac{1}{t}~dt < 1\right\}\right. = \ldots \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass dadurch etwas "Beruhigung" in das Thema kommt. Im Großen und Ganzen ist das eigentlich keine schlimme Sache. Augenzwinkern

air

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