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ico Auf diesen Beitrag antworten »
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Meine Frage:
hallo zusammen, ich habe da ein problem mit einer aufgabe.
berechne die längen der drei höhen des dreiecks ABC und die innenwinkel alpha,beta und gamma
A(0/0), B(3/2), C(-1/2)

bitte kann mir jemand weiter helfen

Meine Ideen:
zuerst die steigungen berechnen:
ma=0, mb=2/3, mc= -2
dann gleichungen der seiten sind:
a:y=0, b: y= 2/3x, c: y = -2x
dan die gleichung der höhe:
????
fusspunkt????
längen der höhen ???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Du kannst das mit linearen Funktionen rechnen, aber auch mit Vektoren.

Die von dir berechneten Steigungen passen nicht zu den Seiten, die Seite c liegt dem Punkt C gegenüber, ihre Steigung ist also .

Widmen wir uns mal der Höhe , also der Höhe über der Seite c, du suchst eine Gerade, die durch den Punkt C geht und senkrecht auf der Gearden durch A und B steht.
Welche Steigung hat die Höhe also und wie ermittelt man die Geradengleichung der Höhe?

Dann wirst du noch das "Problem" bekommen eine Gerade zu beschreiben, die senkrecht auf der Seite a steht, denn die Gerade durch B und C hat die Steigung 0.

Deshalb sind vielleicht Vektoren angebrachter.

Edit: Und weil das ganze eher in die Algebra gehört, verschoben Augenzwinkern
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
leider muss ich die aufgabe mit funktionen lösen.
okay das mit den steigungen habe ich begriffen.
ma=0
mb=-2
mc= 2/3
die gleichungen der seiten sind:
a:y=0 (doch in der lösung steht y=2), b:y=-2x, c: y=2/3x

die gleichungen der höheen sind:
ha:x=0, hb : y=1/2x+???, hc:y=-3/2x+???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Zunächst einmal ist richtig, die Steigungen sind:







Die Geradengleichung für die Höhen sind noch nicht vollständig, du hast bisher Geraden gebildet, die sich im Ursprung schneiden.

Die Steigungen sind aber richtig berechnet, wir haben also







Nun müssen wir die b berechnen, dazu kann man nutzen, dass die Geraden durch bestimmte Punkte gehen, so geht durch den Punkt C, durch den Punkt B usw.

Die Grade ist jedoch keine Funktion.

Zitat:
Original von ico

a:y=0 (doch in der lösung steht y=2)



Das ist sehr schnell gezeigt, dass deine Lösung offenkundig falsch ist:

.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
also ha: x=0
2= 1*m+b
1/2=b
hb: y = 1/2x +1/2
hc: y = -2/3x + 1/2
ich hoffe das stimmt.

ich begreife einfach nicht, warum bei der gleichung der seite a:y=2 sein soll und nicht a:y=0

jetzt kommen die fusspunkte: ????
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Wie schauen denn die Geraden für die Seiten aus?
 
 
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
gleichungen der seiten:
a:y =0
b:y=-2x
c: y= 2/3x

gleichungen der höhen:
ha : x=0
hb:y= 1/2x + 1/2
hc: y = -2/3x + 2/3
ich hoffe jetzt stimmt es.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
falsch
hc: y = -3/2x + 1/2
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
So nun haben wir also die Höhen





.


Wie schauen die Geraden der Seiten a,b und c aus?
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
geraden
ga :x= 0
gb :2= 3x
gc: 2=-1x
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Was soll das denn bedeuten?

Wir wollen die Geraden bestimmen, die die Seiten a, b und c beschreiben, die Steigungen haben wir schon, es fehlt noch der y-Achsenabschnitt.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
sorry habe leider keine ahnung wie das gehen soll
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Wie hast du denn de Geraden bestimmt, die die Höhen beschreiben?

Genau so machst du das jetzt auch, wie schaut eine allgemeine Geradengleichung aus?

Wie kann man die Gerade bestimmen, die die Seite c beschreibt?
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
allgemeine formel y=x*m+b
c: y=2/3+1/2
a: y=2
b: y=-2+1/2
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
jetzt konnte ich die fusspunkte bestimmen
fa (0/2)
aber weiter weiss ich leider nicht
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Zitat:
Original von ico
allgemeine formel y=x*m+b

Das ist richtig, aber auch nahezu das einzige

Zitat:
Original von ico
c: y=2/3+1/2


Wie kommst du hier auf 1/2 als y-Achsenabschnitt?
Wo schneidet die Gerade, die c beschreibt denn die y-Achse?

Zitat:
Original von ico
a: y=2

Das ist richtig.

Zitat:
Original von ico
b: y=-2+1/2

Und hier die gleiche Frage wie oben, wo schneidet die Gerade, die b beschreibt denn die y-Achse?

ist richtig.

Die anderen Fußpunkte bestimmen wir, enn die Geraden richtig sind.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
habe echt keine ahnung, wie ich weiter gehen muss.
die gleichungen der seite konnte ich bestimmen
doch mit den geraden weiss ich nicht weiter.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
okay, die Gerade, die c beschreibt geht durch die Punkte A und B, die Steigung ist 2/3, die allgemeine Geradengleichung ist .

Nun setzen wir die Steigung ein und erhalten .

Um nun f zu bestimmen setzen wir einen Punkt ein, zum Beispiel den Punkt A und erhalten daraus f=0, also ist die gesuchte Geradengleichung .

Die Gleichung hast du ja schon, nun noch die Geradengleichung .
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
gb : y = -2x

(noch eine andere frage, wieso ist die steigung der 1/2 und nicht - 1/2 ??
den 2=m*(-1)+b
- 1/2=b
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
okay, das ist auch richtig.


Zitat:
Original von ico

(noch eine andere frage, wieso ist die steigung der 1/2 und nicht - 1/2 ??
den 2=m*(-1)+b
- 1/2=b

Diese Frage verstehe ich nicht....

Wenn b=0 ist haben wir , multiplikation mit (-1) führt zu m=-2.

Andersherum, ist m=-2 dann ist die Geradengleichung und einsetzen des Punktes A (0,0) führt zu b=0.

Wie kommst du auf -1/2 ?

Um nun die Fußpunkte zu bestimmen müssen wir die Gerde, die die Höhe darstellt mit der Geraden der entsprechenden Seite gleichsetzen um deren Schnittpunkt zu bestimmen.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
okay. alles klar.
nun zu den Fusspunkte.
fa (0/2) war einfach.
doch fb () und fc ()machen mir sorgen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Wir haben doch nun die Höhen und die Seiten als Gerade dargestellt.

Der Fußpunkt ist nun der Schnittpunkt der Höhe mit der entsprechenden Seite, also der Schnittpunkt der Höhe über c mit der Seite c, der Höhe über b mit der Seite b.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
sorry muss doch noch mal fragen
bei der gleichung der höhe müsste doch b=-1/2 sein und nicht b=1/2
denn:
C(-1/2)
2=-1+b
-1/2=b
der fusspunkt
hb : y = 1/2x +1/2
gb : y = -2x

fb ( -1/5; 1/2)

hc : y = -3/2x +1/2
gc : y = 2/3x

fb ( -0,8333; 1/2)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Bei der Gleichung welcher Höhe, der über c oder der über b ?

Die Höhe über c ist:

, einsetzen des Punktes C führt zu , also .

Die Höhe über b ist:

, einsetzen von B führt zu also auf .

Das ist auch ganz richtig so, denn alle Höhen schneiden sich in dem Punkt (0;1/2).
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
danke
jetzt die gemeinen fusspunkte:
stimmten die
oder was habe ich wieder falsch gemacht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Machen wir das doch mal der Reihe nach und schreiben uns zuerst auf, was wir haben, du hast oben zwei mal F_b benutzt.

Zuerst haben wir:









Nun setzen wir also .

Was kommt da für x heraus?
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
fc (3/13;2/13)
fb (-1/5;2/5)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Jap, ist richtig.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
okay jetzt versuche ich die höhen und der winkel noch zu berrechnen:
ha = \sqrt{0^`2+ 2^2}=2
hb = \sqrt{1/5^2+ 2/5^2}= 0.346
hc = \sqrt{2/13^2+3/13^2}= \sqrt{5} /13
ich hoffe das stimmt über pythagoras
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Ausser der Höhe stimmt da nichts.

Mach mal für die Höhe vor, was du gerechnet hast.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
hb = \sqrt{1/5^2+2/5^2} = 0,346
ich nehme die wurzel von 1/5 im quadrat und 2/5 im quadrat
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Und was willst du damit berechnen?
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
so konnte ich die länge ha bestimmen.
habe sonst echt keine ahnung wie das geht
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Hast du dir schon eine Skizze gemacht?

Zeichne das Dreieck und die Höhen mal in ein Koordinatensystem, vielleicht bekommst du dann ja eine Idee, ich hab jetzt keine Zeit mehr, schaue aber übermorgen noch mal rein.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Hier ist eine kleine Skizze mit den 3 Punkten A(0/0), B(3/2), C(-1/2)


Die Längen einer Seite und der dazugehörigen Höhe kann man direkt aus dem Diagramm ablesen, damit kann direkt man die Fläche des Dreiecks ausrechnen.

Mit Hilfe der Länge der beiden anderen Seiten (Stichwort Pythagoras) kann man mit Hilfe der Fläche sofort die zugehörigen Höhen ausrechnen.

Aber ob dieser einfache Lösungsweg erlaubt ist ? Zumindest kann man das auf anderem Weg ermittelte Ergebnis überprüfen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
@etzwane
Wirklich simpel ist dein Weg nicht, und auch nicht kurz.


Wir betrachten nur mal die Höhe über c:


[attach]17319[/attach]

Nun Pythagoras, das ist der einfachste Weg.
ico Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
vielen dank für deine geduld.
ja ich konnte die längen bestimmen und die winkel über den cosinus satz bestimmen.
danke noch mals und einen frohes neues jahr
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Zitat:
Original von lgrizu
@etzwane
Wirklich simpel ist dein Weg nicht, und auch nicht kurz.

Schau mal:
wenn man sich an diese, zugegeben einfache, Aufgabenstellung mit den gegeben Eckpunkten und an die dazugehörige Skizze hält, lese ich ab und rechne ich wie folgt:

a=3-(-1)=4
ha=2-0=2

A=a*ha/2=4*2/2=4

b²=2²+1²=5 >>> daraus b=2,236
c²=2²+3²=13 >>> daraus c=3,606

hb=2*A/b=2*4/2,236=3,578
hc=2*A/c=2*4/3,606=2,219

tan(beta)=2/3 >>> daraus beta=33,69°
tan(alpha)=2/1 >>> daraus alpha=63,43°
gamma=180°-alpha-beta=180°-33,69°-63,43°=82,88°

Das waren jetzt 10 Rechenschritte, etwas unkonventionell und bestimmt nicht so, wie man es auf der Schule lernt, aber ich denke, äußerst effektiv.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen
Ich habe auch nicht behauptet, das sei falsch, aber mein Rechenweg





scheint mir doch ein wenig weniger Rechenaufwendig, zumal die Länge der Seiten a und b im Vorfeld nicht berechnet werden müssen und ebenso die Berechnung der Fläche nicht notwendig ist.

Das ist aber auch unwesentlich, es mag auch sein, dass jeder einen anderen Weg bevorzugt, der Fragesteller hat die Aufgabe gelöst und hoffentlich noch was dabei gelernt, das Ziel ist also erreicht.
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