affine Abbildung

28.12.2010, 17:11

taugenischts

affine Abbildung

Meine Frage:
Habe eine teilaufgabe bei der ich NULL weiterkomme, da Vorlesung und skript unserer uni total fürn anus sind (Stuggi).Hier die Aufgabe:

[attach]17310[/attach]

Die a) ist easy. Bei der b) habe ich absolut keinen Schimmer,kann mir da wer nen tip geben????

Meine Ideen:
ICH HASSE MATHE AHHHH!!!

28.12.2010, 17:22

taugenischts

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edit:
Also die Begrifflichkeiten muss mir niemand erklären die versteh ich schon.
Ich weiss nur nich wie ich mit der einen gegebenen Abbildung und der Lösung der homogenen Fixpunktgleichung y=x+1 auf die verdammte Abbildungsmatrix komme

28.12.2010, 19:15

Cel

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Ich muss dich doch höflich bitten, deinen Tonfall zu überdenken. Viele schreckt das (zu recht) ab. Noch dazu vermittelt es den Eindruck, dass du es mit der Lösung nicht allzu ernst meinst.

Zur Aufgabe. Was die Begrifflichkeiten bedeuten, weißt du ja.

Dann übersetze doch mal, was $\begin{eqnarray*} \alpha(1,1)^T = (2,3)^T \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Nennen wir dazu die Matrix doch mal $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Setz (1,1) ein und schreib die zwei entstehenden Gleichungen auf.

28.12.2010, 19:51

Taugenischts

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nagut dann entschuldige ich mich mal für den "rauen" ton, Mathe ist für mich eben eine sehr frustrierende angelegenheit und man kann die ganze sache auch mit etwas humor sehen,wie ich finde.

$\begin{eqnarray*} \alpha(1,1)^T = (2,3)^T \end{eqnarray*}$
bedeutet : setze ich den Vektor (1,1)^T (Urbild) in die Abbildung ein,erhalte ich den Vektor (2,3)^T (Bild,Abbild).

Setze ich (1,1) ein erhalte ich die Gleichungen:
a+b=2
c+d=3

Hab also 2 gleichungen mit 4 unbekannten.
allerdings wird so der translationsanteil der bewegung nicht berücksichtigt, oder irre ich mich? Müssten dann sogar 6 Unbekannte sein (t1,t2),was für mich unlösbar erscheint.

Und wie mache ich mir die Fixpunktgerade zu nutze? Bitte um verständnis,auch wenn das für manch einen das trivialste von der Welt ist,aber das logische zentrum in meinem gehirn leidetwohl unter chronischem Sauerstoffmangel.

28.12.2010, 22:32

Cel

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Du hast recht, manchmal ist Mathe eine frustrierende Angelegenheit, aber wir sitzen uns nicht gegenüber, dann könnten wir auch ruhig ein wenig rauer sprechen. In Textform sehe ich leider nicht, ob du bei der "verdammten" Matrix schmunzelst oder wutenbrannt bist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Taugenischts
Setze ich (1,1) ein erhalte ich die Gleichungen:
a+b=2
c+d=3

Hab also 2 gleichungen mit 4 unbekannten.
allerdings wird so der translationsanteil der bewegung nicht berücksichtigt, oder irre ich mich? Müssten dann sogar 6 Unbekannte sein (t1,t2),was für mich unlösbar

Dein Einwand stimmt $\begin{eqnarray*} \alpha(1,1) \end{eqnarray*}$ benötigt auch noch t1 und t2, die korrekten Gleichungen lauten

a+b+t1=2
c+d+t2=3

2 Gleichungen, 6 Unbekannte ... ein bisschen viel. Suche zwei weitere Punkte, von denen du weißt, wohin sie abgebildet werden. Es müssen zwei Punkte sein, die auf der Fixpunktgeraden liegen, denn nur über diese hast du Informationen. Übersetze ebenso und du erhälst weitere 4 Gleichungen, insgesamt also 6 Gleichungen, 6 Unbekannte. Hört sich besser an, oder?

29.12.2010, 15:05

taugenischts

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definitiv,hört sich schon viel besser an.
Mal gucken ob ichs richtig geschnackelt hab:
Ich suche also 2 weitere Punkte, die auf der Fixpunktgerade liegen.Diese werden auf sich selbst abgebildet.z.B:

$\begin{eqnarray*} \alpha(0,1)^T = (0,1)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(1,2)^T = (1,2)^T \end{eqnarray*}$

somit komme ich auf die Gleichungen:
a+b+t1=2
c+d+t2=3
b+t1=0
d+t2=1
a+2b+t1=1
c+2d+t2=2

Habe das ganze dann in Matrixform auf eine obere Dreiecksmatrix umgeformt und erhalte somit:
t2=2
t1=1
d=-1
c=2
b=-1
a=2

Die Abbildungsmatrix lautet somit:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem translationsanteil t:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe die Probe für die eine gegebene Abbildung gemacht und scheint zu funzen,aber wie kann ich auf nummer sicher gehn?Kann das stimmen?

29.12.2010, 15:17

Cel

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Die einzigen Bedingungen, die diese (korrekte) affine Abbildung erfüllen muss, sind

$\begin{eqnarray*} \alpha(1,1)^T = (2,3)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha(x,x+1)^T = (x,x+1)^T \end{eqnarray*}$

Wenn du das beides nachrechnest, bist du fertig.

29.12.2010, 15:26

taugenischts

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wunderbar,dann ist das ja doch nicht so übel. Danke dir smile

10.01.2011, 00:01

Mathiker

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Wow super! Euer chat ist sehr hilfreich, danke dafür Freude

Aber wenn ich das richtig verstanden habe, brauche ich die Fixpunktgerade schon zum lösen der Aufgabe, die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} \alpha(1,1)^T=(2,3)^T \end{eqnarray*}$ aber nicht unbedingt, oder??
So wir die zwei anderen punkte beliebig gewählt wurden, hätte ich ja auch noch einen dritten punkt $\begin{eqnarray*} \alpha(2,3)^T=(2,3)^T \end{eqnarray*}$ stattdessen wählen können!?

10.01.2011, 20:42

Melosh

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t1 und t2
müssten t1 und t2 nicht negativ sein ? Also

a+b-t1=2
c+d-t2=3?

Weil am anfang ist es auch negativ in der Aufgabenstellung.

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affine Abbildung

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