Welche Fixpunktiteration konvergiert schneller?

28.12.2010, 20:24	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Fixpunktiteration konvergiert schneller? Hallo alle zusammen, hab ein Problem mit einer Aufgabe, ich versteh da wohl die Aufgabenstellung nicht so ganz. Folgendes: Welche der beiden Fixpunktiterationen $\begin{eqnarray} F_1 := x_{n+1}=x_n^3+0.3, x_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 := x_{n+1}=\sqrt[3]{x-0.3}, x_0=0.7 \end{eqnarray}$ wird nach ihren Erwartungen schneller konvergieren und warum? Nun dachte ich mir ich bestimme die beiden Ableitungen der jeweiligen Funktionen, setze den Startwert ein und die Ableitung die kleiner ist sagt mir dann ja was schneller konvergiert, oder? Demnach wäre: $\begin{eqnarray} F'_1(x_0=0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F'_2(x_0=0.7)=0.61 \end{eqnarray}$ Also würde doch F1 schneller konvergieren, oder? Blöderweise steht das so nicht in der Lösung, sondern: Für die Iteration $\begin{eqnarray} x_{n+1}=x_n^3+0.3 =: F_1(x_n) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|F'_1(\bar x_2)\|=0.345 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n-0.3} =: F_2(x_n) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|F'_2(\bar x_3)\|=0.539 \end{eqnarray}$ . Wir erwarten daher in der Nähe von $\begin{eqnarray} \bar x_2 \end{eqnarray}$ einen kleineren Konvergenzfaktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ für die Iteration mit F1 und daher schnellere Konvergenz. So, diese Lösung verstehe ich jetzt mal gar nicht. Warum gerade $\begin{eqnarray} \bar x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \bar x_3 \end{eqnarray}$ ?? Wie kommt man darauf? Und warum verwendet man bei F1 $\begin{eqnarray} \bar x_2 \end{eqnarray}$ und bei F2 $\begin{eqnarray} \bar x_3 \end{eqnarray}$ ? Und warum steht in der Angabe für F1 in der Formel ein $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ und in F2 nicht? Ist das ein Druckfehler? (Steht nämlich genauso im Buch: Numerische Mathematik von Michael Knorrenschild, 4. Auflage) Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, ich blick da nicht mehr so ganz durch
30.12.2010, 10:13	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß keiner hier etwas zu dieser Aufgabe? Ich schreib nämlich bald Prüfung und würde das schon sehr gerne verstehen, aber bis jetzt....

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