Kern eines Homomorphismus

29.12.2010, 16:43

Gast11022013

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Kern eines Homomorphismus

Meine Frage:
Es sei G eine endliche Gruppe, |G|>1, und H eine echte Untergruppe von G. Dann operiert G auf der Menge der Linksnebenklassen G/H durch Linksmultiplikation.

b) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Kern\Phi\subseteq H \end{eqnarray*}$ .

Dazu ist zu sagen, dass man im Aufgabenteil a) die Gruppenoperation als Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi:G\to S(G/H) \end{eqnarray*}$ formulieren sollte und das die Lösung von a) ergab, dass dieser Homomorphismus wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} \Phi:G\to S(G/H),g\mapsto \pi_{g}(g^{*}H)=gg^{*}H \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nun meine bisherigen Ideen zum Aufgabenteil b).

Zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray*} ker\Phi\subseteq H \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht dieser Kern aus? Ich denke, wie folgt:

$\begin{eqnarray*} ker\Phi=\left\{g\in G: \Phi(g)=e_{S(G/H)}\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e_{S(G/H)} \end{eqnarray*}$ das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} S(G/H) \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll.

Ich habe mich also als nächstes gefragt: Was ist denn das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} S(G/H) \end{eqnarray*}$ ? Da es sich um die symmetrische Gruppe auf G/H handelt, müsste das doch die identische Abbildung sein, also die Permutation, die nichts vertauscht.

Und nun muss ich ja "nur noch" diejenigen Elemente in G finden, die auf die Identität abgebildet werden.
Dabei sollte dann heraus kommen, dass diese Elemente alle in H liegen.

Hier komme ich jetzt aber irgendwie nicht mehr weiter.
Kann mir jemand vielleicht helfen?
Ich benötige nur einen kleinen Anstoß.

29.12.2010, 16:55

Gast11022013

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RE: Kern eines Homomorphismus
Oder aber bei dem neutralen Element handelt es sich um

$\begin{eqnarray*} \pi_{e}(g^{*}H)=g^{*}H \end{eqnarray*}$ .

Und da H nach Aufgabenstellung echte Teilmenge ist können die Elemente aus G, die das neutrale Element ergeben nur aus dem Schnitt von G und H kommen bzw. wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements.

Oder so ähnlich... ich denke nur mal laut. verwirrt

verwirrt

29.12.2010, 17:33

Gast11022013

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RE: Kern eines Homomorphismus
Also nochmal als Frage formuliert, damit auch jemand vernünftig reagieren kann:

Ist Folgendes korrekt?

$\begin{eqnarray*} ker\Phi=\left\{g\in G:\Phi(g)=\pi_{e}(g^{*}H)\right\}=\left\{e_{G}\right\} \end{eqnarray*}$

Das heißt, der Kern von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist trivial, d.h. besteht nur aus dem neutralen Element von G. Da das neutrale Element von G und H das gleiche Element ist (Eindeutigkeit des neutralen Elements) und H nach Voraussetzung echte Untergruppe von G ist, muss e in H liegen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ker\Phi\subseteq H \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Ich bitte um Reaktionen. Dankeschön!

29.12.2010, 18:25

Gast11022013

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RE: Kern eines Homomorphismus
Kein Algebraiker hier, der mir ein Feedback geben kann?

29.12.2010, 19:05

pseudo-nym

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Du musst genauer hinschauen. Was du suchst ist jemand der sich mit den Grundzügen der Algebra auskennt, willens ist sich durch deine Nomenklatur mit vom Himmel fallenden $\begin{eqnarray*} S() \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi_g \end{eqnarray*}$ zu kämpfen, die man nur zweifelsfrei identifizieren kann, wenn man deinen anderen Post zur Teilaufgabe a) gelesen hat und der sich deiner penetranten Mehrfachposts und Drängeleien erwehren kann.
Editiere wenn dir noch etwas einfällt.

Zum Inhalt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ker\Phi=\left\{g\in G:\Phi(g)=\pi_{e}(g^{*}H)\right\}=\left\{e_{G}\right \} \end{eqnarray*}$

Der zweite Schritt ist im algemeinen falsch.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \ker \Phi = \{ g \in G \vert \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \} \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 19:08

Gast11022013

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Entschuldige.

Was meinst du mit "der zweite Schritt ist i.A. falsch"?

Ich steige durch Deine Antwort leider nicht so gut durch.

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29.12.2010, 19:13

Gast11022013

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Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \ker \Phi = \{ g \in G \vert \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \} \end{eqnarray*}$ [/quote]

Kannst Du das vielleicht erklären, das verstehe ich nicht.

29.12.2010, 19:18

pseudo-nym

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Betrachte $\begin{eqnarray*} G = (\mathbb Z_4, +), H = (\mathbb Z_2, +) \end{eqnarray*}$
und berechne $\begin{eqnarray*} \ker \Phi \end{eqnarray*}$ . Dieser wird aus mehr als nur der Null bestehen.

Vielleicht wird dann meine Charakterisierung des Kerns klarer.

29.12.2010, 19:25

Gast11022013

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Okay, ja. Ich war zu voreilig: Der Kern muss nicht nur aus dem Neutralelement bestehen.
Aber wie zeige ich dann hiermit nun, dass der Kern in H liegt?

29.12.2010, 19:37

pseudo-nym

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Nun was ist denn unklar an meiner Charakterisierung des Kerns?
Die Symbole, die Umformungen...?

29.12.2010, 19:41

Gast11022013

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An sich ist mir nichts unklar.
Du hast halt alle Möglichkeiten abgedeckt und nicht nur den speziellen Fall, dass der Kern nur aus dem neutralen Element besteht.

Ich muss ja nun aber daraus irgendwie erkennen können, dass der Kern in H liegt und das will mir gerade nicht gelingen. Woran sieht man das? Oder muss man erst noch was umformen?

29.12.2010, 19:49

Gast11022013

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gg'H=gg'hH=g'H

Folgt daraus nicht: g=h=e?
verwirrt

verwirrt

29.12.2010, 19:57

pseudo-nym

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Du bist dir sicher, dass du mein Gegenbeispiel durchgerechnet hast, oder?
$\begin{eqnarray*} G = (\mathbb Z_4, +), H = (\mathbb Z_2, +), g= 2, h = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gg'H = 2+g'H = g+2+H = g+2+2+H = g' H \end{eqnarray*}$

29.12.2010, 20:05

Gast11022013

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Ich stelle mich wohl besonders blöd an, aber ich habe hier keinen Durchblick.
Danke für Deine Mühe.

Ich begreife immer noch nicht, wie sieht man: ker von phi liegt in der Untergruppe H?

29.12.2010, 20:28

pseudo-nym

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Du könntest $\begin{eqnarray*} g \in G \backslash H \end{eqnarray*}$ annehmen und dann zeigen, das ein solches g die Eigenschaft über die ich den Kern charakterisiert habe nicht erfüllen kann (bzw. das das logische Gegenteil dieser Aussage eintritt).

29.12.2010, 20:54

Gast11022013

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Ich bekomme das nicht hin, schade.

29.12.2010, 21:11

Gast11022013

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So, ich würde jetzt einfach so argumentieren:

1. Fall: g' ist in H. Dann können die Gleichungen nur überhaupt stimmen, wenn auch g in H liegt, denn sonst würden ja die ganzen Ausdrücke gar nicht in H liegen können, da z.B. gg'H dann nicht in H läge, g'H aber schon. Dann kann es ja nicht gleich sein.

2. Fall: g' ist in G\H. Dann ist g'H in G\H. Und meiner Meinung nach können dann die Gleichungen nicht hinhauen.

Lesen2

Lesen2

30.12.2010, 01:13

pseudo-nym

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Wenn ich das richtig verstehe hast du jetzt im 1. Fall gezeigt, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (g' \in H \wedge \pi_g(g'H) =g'H) \Rightarrow g \in H \end{eqnarray*}$

Im zweiten hast du
$\begin{eqnarray*} (g' \in G \backslash H \wedge \pi_g(g'H) =g'H) \Rightarrow g \in H \end{eqnarray*}$
ohne Beweis behauptet.
Das ist aber falsch (Betrachte $\begin{eqnarray*} G= S_3, H = \langle(13) \rangle, g = (23), g' = (12)) \end{eqnarray*}$

Ich glaube das Problem ist, das dir noch nicht ganz klar ist was du zeigen musst.

Bilde mal das aussagenlogische Gegenteil der Eigenschaft von Elementen im Kern.

30.12.2010, 11:21

Gast11022013

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Das aussagenlogische Gegenteil... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \pi_{g}(g'H)=gg'H\neq gg'hH\neq g'H \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2010, 11:52

Gast11022013

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Mal eine ganz blöde Frage, aber könnte man das nicht auch einfach ein bisschen umformen:

$\begin{eqnarray*} g'^{-1}gg'H=H \end{eqnarray*}$ und folgt daraus nicht, dass $\begin{eqnarray*} g'^{-1}gg'\in H \end{eqnarray*}$ , dass also auch g in H sein muss?

Ich probiere das nur aus, weil mir der ganze bisherige Lösungsweg so übertrieben kompliziert für eine Aufgabe vorkommt, die nur 2 Punkte wert ist.

30.12.2010, 17:01

pseudo-nym

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Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} \ker \Phi = \{ g \in G \vert \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \} \end{eqnarray*}$

Mehr in Worten ausgedrückt heißt das:
Der Kern von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Elemente g aus G für die
$\begin{eqnarray*} \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \Leftrightarrow \forall g' \in G \exists h \in H : gg'h = g' \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \forall g' \in G \exists h \in H : gg'h = g' \end{eqnarray*}$ charakterisiert also die Elemente des Kerns.

Das Gegenteil dieser Aussage (wenn du mit der Bildung der Negation Probleme hast, solltest du vielleicht dein Lin-Alg-Skript konsultieren. Da sollte das drinstehen).
Wenn g nicht aus H ist kannst du zeigen, dass dieses Gegenteil eintritt und somit keine Elemente aus G\H im Kern sind.

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} g'^{-1}gg'H=H \end{eqnarray*}$ und folgt daraus nicht, dass $\begin{eqnarray*} g'^{-1}gg'\in H \end{eqnarray*}$

Ja

Zitat:

Original von Dennis2010
dass also auch g in H sein muss?

Nein

Zitat:

Original von pseudo-nym
(Betrachte $\begin{eqnarray*} G= S_3, H = \langle(13) \rangle, g = (23), g' = (12)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich probiere das nur aus, weil mir der ganze bisherige Lösungsweg so übertrieben kompliziert für eine Aufgabe vorkommt, die nur 2 Punkte wert ist.

Solche Sachen auszuprobieren ist der richtige Weg. Irgendwann findet man dann schon was, was man brauchen kann.
Allerdings weiß ich nicht von welchem Lösungsweg zu redest. Du suchst immer noch nach der richtigen Frage. Big Laugh

Big Laugh

31.12.2010, 14:00

Gast11022013

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Zitat:

Original von pseudo-nym

Zitat:

Original von pseudo-nym
$\begin{eqnarray*} \ker \Phi = \{ g \in G \vert \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \} \end{eqnarray*}$

Mehr in Worten ausgedrückt heißt das:
Der Kern von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Elemente g aus G für die
$\begin{eqnarray*} \forall g' \in G \exists h \in H : \pi_{g}(g'H) = gg'H = gg'hH = g'H \Leftrightarrow \forall g' \in G \exists h \in H : gg'h = g' \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \forall g' \in G \exists h \in H : gg'h = g' \end{eqnarray*}$ charakterisiert also die Elemente des Kerns.

Ja, stimmt. Das leuchtet ein.

Ich versuche jetzt mal die Negation davon zu bilden.
Lautet die ganz einfach: $\begin{eqnarray*} \forall g'\in G \nexists h\in H: gg'h=g' \end{eqnarray*}$ oder anders ausgedrückt: $\begin{eqnarray*} gg'h\neq g' \forall h\in H \end{eqnarray*}$ ?

31.12.2010, 17:49

pseudo-nym

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Nein. Wenn du eine Aussage in der Quantoren vorkommen negierst musst du jeden Quantor "umdrehen", also Existenzquantoren in Allquantoren umwandeln und umgekehrt.

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall x \exists y A) \Leftrightarrow \exists x \forall y \neg A \end{eqnarray*}$

31.12.2010, 17:56

Gast11022013

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Ich gebe wirklich nicht so schnell auf, aber ich muss jetzt wirklich passen.
Diese Aufgabe treibt mich sonst in den Wahnsinn, und 2 kleine Punkte wiegen den Verlust meines Verstandes nicht auf...

Hammer

Hammer

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