Folgengrenzwert |
| 29.12.2010, 19:40 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Folgengrenzwert Folgende geometrische Folge ist gegeben . Für welchen Wert von k strebt die zu an gehörige Reihe gegen 3? Meine Ideen: Also als Quotient von a(n)/a(n+1) hab ich 1/(2^k)... |
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| 29.12.2010, 20:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Quotient stimmt. Welche Bedingung muss der Quotient erfüllen, damit die unendliche geometrische Reihe eine endliche Summe hat? Und dann schreibe einmal diese Reihensumme auf ... mY+ |
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| 29.12.2010, 20:21 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also die Summe der Elemente einer endlosen Reihe ist: a1*1/(1-q) q ist in unserem Fall ja der Quotient. Ist a1 vielleicht 1 weil n-1 bei 1 ja immer 0 ist? Oder wie lautet a1? |
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| 29.12.2010, 20:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, a1 = 1 mY+ |
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| 29.12.2010, 20:27 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht sollte man auch nicht über die Summe rangehen sondern über die Summanden. Also ab einem bestimmten n muss es einen anderen Wert für n geben, mit dem sich die beiden a's aufheben also die entgegengesetzte Zahl... |
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| 29.12.2010, 20:29 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber dann muss ja nur 1/(1-q) endlich sein... ist das nicht immer der Fall? |
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| 29.12.2010, 20:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das tut es bei einer geometrischen Reihe (im Allgemeinen) sicher nicht. _________________ Die Frage hat gelautet, welche Bedingung q erfüllen muss, damit die Reihensumme endlich wird. Das hast du noch nicht raus. Es hat nichts damit zu tun, ob 1/(1-q) endlich oder unendlich wird. Wichtig ist vielmehr, wohin strebt, aber dies wurde ja bereits mit der Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe abgehandelt. Was hindert dich eigentlich daran, mit diesem bereits ermittelten q die Reihensumme darzustellen und diese dann 3 zu setzen? mY+ |
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| 29.12.2010, 20:30 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also einfach 1/(1-q) = 3??? |
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| 29.12.2010, 20:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Für q ist natürlich zuletzt der errechnete Term einzusetzen. mY+ |
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| 29.12.2010, 20:38 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Hilfe! Aber ich verstehe den Zusammenhang nicht - also was hat die Reihensumme für unendliche geometrische Reihen damit zutun, wohin q^n strebt? |
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| 29.12.2010, 20:41 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und warum ist es so wichtig zu wissen wohin q^n strebt? Nur weil a1=1? Denn nur dadurch funktioniert es ja dass 1*q^n=3 sein muss. |
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| 29.12.2010, 20:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist so, dass man zu dieser Reihensumme erst dann gelangt, wenn man in der Summenformel der endlichen geometrischen Reihe gehen lässt. Und der Term strebt nur dann gegen Null, wenn q .... (weisst du's?) Daher darf man die erstgenannte "verkürzte" Formel für die unendliche geometrische Reihe erst dann verwenden, wenn q diese Bedingung erfüllt. Ich will's jetzt endlich von dir wissen! mY+ |
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| 29.12.2010, 20:49 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja wenn der Betrag von q kleiner eins ist oder? Aber wie komme ich von dieser langen zur "verkürzten" Form? ________________________ Und warum muss die Reihensumme gleich 3 sein, wenn diese Reihe zu 3 gehen soll? ________________________ "Aber wie komme ich von dieser langen zur "verkürzten" Form?" - das habe ich selber verstanden aber warum muss die Reihensumme 3 sein, wenn der Grenzwert 3 ist??? *** Edit (mY+): 3-fach Post zusammengefügt! Vermeide bitte Mehrfachposts! Verwende statt dessen die EDIT-Funktion! --- |
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| 29.12.2010, 21:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, das ist mal richtig, endlich. Jetzt musst du nachsehen, ob bzw. für welche k diese Bedingung bei zutrifft. Du ermittelst damit sozusagen die Definitionsmenge für alle in Frage kommenden k. Wie man zu der Summenformel der unendlichen Reihe kommt: Nun kann in der Summenformel der endlichen Reihe beim Grenzübergang statt eingesetzt werden, denn die Potenz einer Zahl kleiner als 1 strebt gegen Null (!). Wir erhalten dann den Term welcher ja bereits als Summe der unendlichen Reihe bekannt ist. ______________________ Die Reihensumme der unendliche Reihe IST ja der Grenzwert für ! Und WENN |q| < 1 ist, dann kann dafür die Summe der unendlichen Reihe verwendet werden! mY+ |
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| 29.12.2010, 21:07 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist die Reihensumme nicht die Summe aller Elemente der Reihe und der Grenzwert gewissermaßen auch nur "fast" ein Wert der Reihe. Müsste die dann (nach meiner Meinung und falschen Deifinition) Reihensumme nicht immer unendlich sein, weil ja immer etwas hinzukommt. Und zu meiner Löung: Muss gelten 1/1-q=3 ??? |
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| 29.12.2010, 21:10 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin jetzt erstmal offline. Falls ich noch Fragen habe, sende ich dir eine pn. Danke für deine Hilfe! |
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| 29.12.2010, 21:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sagte ich bereits um 20:35 h. Allerdings hast du das hier jetzt falsch: 1/1-q=3 ist formal falsch. Was fehlt? ______ Zum anderen: Du begehst denselben Irrtum, wie bereits bei Achilles geschehen, der eine Schildkröte verfolgt, am Anfang 10 Stadion (altes gr. Längenmaß) von ihr entfernt ist und dabei 10 mal so schnell läuft wie die Schildkröte (Sophisma des Xenon v. Eleia). Immer wieder wird die Schildkröte ein Zehntel des Weges vor ihm sein, den er gerade zurückgelegt hat, also wird Achilles die Schildkröte nie erreichen. Jeder weiss, dass dies natürlich ein Trugschluss ist. Die Wege bilden eine unendliche geometrische Reihe mit dem Quotienten 1/10. Diese hat zwar unendlich viele Glieder, aber dennoch eine endliche Reihensumme, nämlich 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + .... = 11,1111... Stadion! Die Schildkröte ist daher nach 11,111... Stadion in der Hand von Achilles. Also liegst du falsch, wenn du behauptest, dass eine Summe zwangsläufig unendlich werden muss, wenn immer kleiner werdende Summanden hinzukommen. mY+ Und bitte: Entscheide dich für einen Namen! Teetrinker = finn.m. Unter zwei verschiedenen Namen im Board aufzuftreten läuft den Boardregeln zuwider! |
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| 29.12.2010, 21:56 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldigung wegen der Unterschiedlichen Namen. Fehlen die Klammern? 1/(1-q)=3 wobei q=1/2^k und q<0 Danke für die coole Geschichte... aber! Wenn die Gleider immer kleiner werden, kann sich die Summe der Glieder zweifelsohne z.B. 111 annähern aber! dann ist das doch nicht der Grenzwert, Oder? Ich meine der Grenzwert ist doch dann 0, denn die Glieder werden immer kleiner! Grenzwert != Reihensumme Wollte ich damit sagen, denn bei deinem Beispiel beispielsweise ist der Grenzwert 0 doch die Reihensumme ist endlich... |
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| 29.12.2010, 22:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Klammer fehlte. Der Grenzwert der FOLGE ist Null, aber nicht jener der Reihe. Du musst also Folge und Reihe immer auseinanderhalten. Die Reihe ist - salopp gesprochen - immer die Summe der Folgenglieder. Genauer: Der Grenzwert der Reihe ist der Grenzwert der Folge der Partialsummen. Und wenn sich die Summe immer mehr der Zahl 11,111... nähert, dann IST diese Zahl der Grenzwert der Reihe, auch wenn die Summe nie diese Zahl genau erreicht. Sie kommt aber dieser Zahl beliebig nahe (und im Unendlichen erreicht sie sie auch). Bei Achilles und der Schildkröte ist es so, dass Achilles mit dem letzten Schritt, in dem er die Schildkröte gefangen hat, die Summe aller dieser unendlich vielen immer kleiner werdenden Intervalle, welche ja eine endliche Strecke darstellt, in einem Rutsch erreicht bzw. überschritten hat. ____________ Wie lautet nun jenes k, für welches die Reihe in deiner Aufgabe den Grenzwert 3 hat? ____________ Unter welchem Namen willst du nun künftig auftreten? Der andere Name wird dann von der Administration gelöscht werden. mY+ |
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| 29.12.2010, 22:19 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich würde gern als Teetrinker auftreten... Dafür sollte ich mir demnächst ein Profil anlegen... Danke, also ist in dem Beispiel mit Achilles Der Grenzwert der Reihe 111,11 und der der Folge gleich 0. Naja also in dem Beispiel ist k=log2(2/3), denn |
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| 29.12.2010, 22:20 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
EDIT: k=-log2(2/3) |
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| 29.12.2010, 22:33 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich so eine Aufgabe gegeben habe, kann ich dann allgemein sagen, dass der Grezwert der Reihe 1/(1-q) ist und a1 falls nichts anderes vorgegeben immer 1??? Natürlich bei q<1 ;-) |
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| 29.12.2010, 22:33 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, nicht 111,11..., sondern 11,111... ______________ k stimmt meines Erachtens NICHT! Es ist , somit ....... mY+ |
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| 30.12.2010, 01:01 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich hab jetzt raus K=log2(1,5) Das sollte eigentlich stimmen |
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| 30.12.2010, 01:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn mit log2 der Logarithmus zur Basis 2 gemeint ist, dann stimmt es. Übrigens war in diesem Fall auch
richtig. Wie würdest du eigentlich weiterrechnen, wenn der Zahlenwert bestimmt werden soll? Das führt zwangsläufig auf eine Darstellung mittels eines allgemeinen Logarithmus (Basis beliebig, meist wird man den LN nehmen). ________________ Bitte registriere dich unter deinem neuen Namen, denn dein anderer Account wurde bereits gelöscht. mY+ |
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| 30.12.2010, 09:58 | Teetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(logge mich gleich ein) Aber welcher Zahlenwert? |
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| 30.12.2010, 15:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, jener von k=log2(1,5) (?) mY+ |
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| 31.12.2010, 09:46 | eetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ungefähr 0,58 und wenn ich das als k einsetze wird |q| < 1 was ja auch sehr wichtig war... |
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| 01.01.2011, 20:14 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider hast du dich noch immer nicht registriert. __________ k = 0,585, ja, richtig! 
mY+ |
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| 03.01.2011, 14:36 | eetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ich habe ausversehen meine alte Mail-adresse verwendet, für die ich kein Passwort habe... und deswegen komme ich nicht an mein Profil ran. |
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| 03.01.2011, 15:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann das der Administration mitteilen, wenn du mir (bitte per PN) deine nun zu verwendenden gültigen Daten sendest. mY+ |
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| 03.01.2011, 19:10 | eetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wiegesagt ich komme nicht an mein Profil und ich kann doch nach meinem Wissen so keine PN schreiben also ohne eingeloggt zu sein. Ich komme nicht an mein Profil weil ich das Passwort des alten Mail-kontos nicht mehr habe |
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| 04.01.2011, 00:24 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe die Admins angeschrieben, bis zur Klärung bitte noch warten. mY+ |
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| 04.01.2011, 10:34 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte um e-Mail an [email protected] mit der Beantwortung folgender Fragen: Welche e-Mail Adresse hast Du beim Teetrinker Account verwendet? Welche e-Mail Adresse soll jetzt verwendet werden? Gruß, Jama |
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| 05.01.2011, 00:30 | eetrinker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich gemacht - ist die Mail angekommen? |
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