Lagrange-/Newton-Basis sind Basis des Polynomraums

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29.12.2010, 21:11	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-/Newton-Basis sind Basis des Polynomraums Hallo! Ich bin auf der Suche nach einer Erklärung, weshalb die Lagrange-Fundamentalpolynome bzw. die Newton-Basis eine Basis des Polynomraums $\begin{eqnarray} \Pi_n \end{eqnarray}$ bilden. Wie ist die Argumentation hier bzw. wie würde man einen Beweis aufbauen? Vielen Dank!
29.12.2010, 21:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-/Newton-Basis sind Basis des Polynomraums Wie man es immer tut. Sie sind linear unabhängig und erzeugen den Raum. Wo hast du Probleme? Newton sollte sogar "einfacher" sein, bedenke die maximale Potenz.
29.12.2010, 21:20	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich zeige, dass die n Polynome linear unabhängig sind, dann weiß ich, dass der Raum n Dimensionen hat. Aber ich habe ja noch nicht gezeigt, dass dies auch dem Raum $\begin{eqnarray} \Pi_n \end{eqnarray}$ entspricht (oder doch?). Ja mit den Potenzen beim Newton hab ich auch schon dran gedacht. Wenn man die Klammern im Term auflöst sieht man im grunde, dass ein Polynom n-ten Grades rauskommt. Aber der formale Beweis dafür fehlt mir noch...
29.12.2010, 21:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome sind hier Vektoren. Du kannst - wenn du die Koeffizienten des Ausmultiplizierten betrachtest, dir Koordinaten bzgl. der Monombasis 1,x,x² etc. aufschreiben. Nehmen wir mal n=3. Wie lautet dann deine Newtonbasis, wie deine Lagrangebasis. Vielleicht klärt es sich dann leichter.
29.12.2010, 21:52	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Newton-Basis wäre $\begin{eqnarray} \{1,(x-x_0),(x-x_0)(x-x_1),(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\}=\{1,(x-x_0),(x^2-xx_1-x_0x-x_0x_1),...\} \end{eqnarray}$ (wodurch sich Polynome bis zum Grad 3 "bauen" lassen, aber wieso JEDES? Die Lagrange-Basis lautet: $\begin{eqnarray} \{{x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3},~~{x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3},~~{x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3},~~{x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\} \end{eqnarray}$
29.12.2010, 21:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, dann vielleicht doch n=2. $\begin{eqnarray} \{1,(x-x_0),(x-x_0)(x-x_1)\}=\{1,x-x_0,x^2-xx_1-x_0x-x_0x_1,\} \end{eqnarray}$ So, nun sagte ich was von Monom-Basis. Die x0 etc. Sind feste Zahlen. In Monombasis (M) also die Darstelung (T=Transponiert) $\begin{eqnarray} b_1=1 = (1,0,0)^T_M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=(x-x_0) = (x_0,1,0)^T_M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=(x-x_0)(x-x_1) = (x_0x_1,-x_1-x_0,1)^T_M \end{eqnarray}$ Bei denen siehst du doch nun schnell, dass sie lu sind? oder?
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29.12.2010, 22:10	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gute Erklärung, da sehe ich sofort, dass die linear unabhängig sind. Aber wie zeige ich das nun für beliebiges n?
29.12.2010, 22:11	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Da verweise ich darauf, dir bei jedem Basisvektor die höchste Potenz anzuschauen. Es folgt sofort, dass man die nur trivial zum Nullpolynom kombinieren kann.
29.12.2010, 22:19	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Das ist ein guter Ansatz Danke schonmal! Kannst du mir denn noch bei Lagrange auf die Sprünge helfen?
29.12.2010, 22:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Polynominterpolation - Theorie Wir wollen das Nullpolynom darstellen. Was folgt damit direkt für die $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ in dem Link? Würde dir auch mal den Beweis empfehlen, warum die Interpolationsaufgabe mit dem Lagrangeansatz gelöst werden kann. Des weiteren zeigt man, dass die Lösung eindeutig ist (Nicht dass hier ein Zirkelschluss entsteht). Dann bekommst du die lu der Lagrangepolynome. Diei ja nun alle gleichen Maximalgrad haben.
29.12.2010, 22:31	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ folgt, dass sie alle gleich Null sein müssen, woraus die Behauptung folgt, richtig?
29.12.2010, 22:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das die einzige Lösung ist.
29.12.2010, 22:36	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja super! Vielen Dank
29.12.2010, 22:39	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.

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