Beweise mit Matrizen

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eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise mit Matrizen
Folgende Aufgaben bei denen ich keinen Ansatzpunkt dr Vorgehensweise finde:
(i) Beweisen Sie, dass das Produkt zweier quadratischer oberer Dreiecksmatrizen wieder
eine obere Dreiecksmatrix ist.
(ii) Wann ist eine obere Dreiecksmatrix invertierbar? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
(iii) Zeigen Sie, dass die Inverse einer invertierbaren oberen Dreiecksmatrix wieder eine obere Dreiecksmatrix
ist.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Für die (i) kannst du ganz plump ansetzen. Nimm dir zwei obere Dreiecksmatrizen



und multipliziere diese zu mit .

Was jetzt hilft ist sich zu überlegen, welche a_(ij) bzw. b_(ij) jetzt denn eigentlich Null sind (abhängig von i und j). Genau diese Eigenschaft musst du dann auch für die c_(ij) zeigen - das ist im Grunde nur Rechnen.

Hast du denn für die (ii) eine Vermutung, über die man sprechen könnte? Augenzwinkern

air
clue Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

ad ii) eine obere Dreiecksmatrix ist ja genau dann invertierbar wenn alle hauptdiagonal einträge von null verschieden sind oder?

aber wie kann ich das beweisen?
geht die "erste" richtung nicht aus der Definition der oberen Dreiecksmatrix hervor? oder kann da auch ein Eintrag null?

in die zweite Richtung: würde ich so argumentieren: angenommen alle hauptdiagonal einträge von null verschieden sind und man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt und sie vollen Rang bestizt, ist diese invertierbar?

Stimmt das so?
hotsizzle Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig.
1) Man kann das zb mit einem Widerspruchsbeweis erledigen:
Nehme an, dass ein Eintrag auf der Diagonalen =0 ist und zeige, dass die Matrix nicht invertierbar sein kann.
2) Der Gedankengang scheint richtig zu sein, nur ziemlich kurz in der Formulierung.
Ich hoffe, dass das zu später std dir richtigen lösungsansätze sindBig Laugh
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