Interpolation eines Integrals mit e-Funktion

30.12.2010, 11:52	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation eines Integrals mit e-Funktion Hallo alle zusammen, ich habe noch ein Problem mit einer neuen Aufgabe, wieder weicht mein Lösungsweg von dem der Musterlösung ab. Es kommen allerding ziemlich ähnliche Werte für die Lösung raus, daher will ich euch bitten meinen Lösungsansatz zu überprüfen, ob dieser so auch möglich und richtig ist, den der Musterlösung verstehe ich nämlich nicht. Folgende Aufgabe: In einer Tabelle finden Sie folgende Werte für f(x): $\begin{eqnarray} f(x):=\int_0^x e^{-t^2}dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_i=0.1 \rightarrow f_i=0.09966766430 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_i=0.2 \rightarrow f_i=0.1973650310 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_i=0.3 \rightarrow f_i=0.2912378827 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_i=0.4 \rightarrow f_i=0.3796528397 \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie mittels Interpolation daraus einen Näherungswert für f(0.27) mit einem nachgewiesenem relativen Fehler von maximal 1%. Hinweis: Um Arbeit zu sparen, will man natürlich nur mit so vielen Werten interpolieren, wie für die geforderte Genauigkeit nötig sind. Ich hab also linear interpoliert und bin zu folgendem Polynom gekommen: $\begin{eqnarray} p(x)=0.1973650310+0.938728517(x-0.2) \end{eqnarray}$ also gilt: $\begin{eqnarray} p(0.27)=0.2630760272 \end{eqnarray}$ Für den Fehler benutze ich die Fehlerformel für stückweise lineare Interpolation: $\begin{eqnarray} \|f(x)-p(x)\| \leq \frac{h^2}{8}\max(\|f''(\xi)\|,\xi \in [0.2,0.3]) \end{eqnarray}$ so, h ist ja 0.1 und die zweite Ableitung von f ist: $\begin{eqnarray} f''(x)=-2x\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray}$ und das maximum der 2ten Ableitung ist ja: $\begin{eqnarray} \max(\|f''(\xi)\|,\xi \in [0.2,0.3]) = f''(0.3)= 0.5483587112 \end{eqnarray}$ Somit kann ich ja einfach in die Fehlerformel einsetzen: $\begin{eqnarray} \|f(x)-p(x)\| \leq \frac{0.1^2}{8} \cdot 0.5483587112 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \|f(x)-p(x)\| \leq 0.000685448 \end{eqnarray}$ Der relative Fehler ist nun ja: $\begin{eqnarray} \frac{\|f(2.7)-p(2.7)\|}{\|f(2.7)\|} \end{eqnarray}$ wobei f(2.7) ja einfach die Summe des absoluten Fehlers und p(2.7) sein müsste, richtig? Also: $\begin{eqnarray} f(2.7)=0.000685448+0.2630760272=0.2637614752 \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\|f(2.7)-p(2.7)\|}{\|f(2.7)\|}=\frac{0.000685448}{0.2637614752}=0.2599% \end{eqnarray}$ Somit wäre lineare Interpolation ausreichend, da 0.2599%<<1% ist. Stimmt dieser Rechenweg so, oder hab ich irgendwo einen Denkfehler drinnen? Danke schonmal im vorraus, eey
03.01.2011, 15:15	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, gibts hier so wenig Leute die sich mit Numerischer Mathematik auskennen oder ist meine Frage unverständlich gestellt (Wenn ja bitte nachfragen)? Denn in den anderen Foren hab ich eigentlich immer relativ schnell Antworten bekommen...
09.01.2011, 00:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche anderen Foren meinst du? Was versteht ihr nun unter Interpolation? Spline (stückweise linear) oder Polynominterpolation?

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