Urbilder der Basis

30.12.2010, 12:18	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
Urbilder der Basis Meine Frage: Hallo zusammen, habe eine Aufgabe, aber komme beim letzten Teil nicht weiter. Hoffe, mir kann jemand helfen. Also, die UAfgabe ist: Die lineare Abb. f: R^4 -> R^3 sei definiert durch f(x)=Ax. Dabei sei A die Matrix: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 0 & 5 \\ -1 & 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ergänzen Sie die Basis von Ker(f) durch Urbilder der Basis von Im(f) zu einer Basis von R^4! Meine Ideen: Bisher habe ich die Basis von ker(f) und Im(f) bestimmt, komme aber an der Stelle mit den Urbildern nichjt weiter. Also, ich hoffe mal, bis dahin wars richtig. nhabe: Basis von Ker(f)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Basis von Im(f)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.12.2010, 12:30	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche mal, dir zu überlegen, dass das Lösen eines linearen Gleichungssystems nichts anderes als das bestimmen des Urbilds unter einer linearen Abbildung ist. In anderen Worten: Löse Ax=b, wobei b die Basisvektoren des Bildes sind.
01.01.2011, 14:42	Lycania	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbilder der Basis Meine Frage wäre erstmal, wie du auf die Basis des Kern kommst. Du hast 3 Gleichungen für 4 Variable also ein unterbestimmtes LGS. Wenn man die Matrix in "ansatzweise" Zeilenstufenform bringt ergibt sich eine Nullzeile sprich 2 Gleichungen für 4 Variable. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -3\\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre meine umgeformte Matrix, wenn du das versuchst zu lösen, müssten mind. 2 Variablen gleich eine Konstante gesetzt werden. Weiterhin wenn man probehalber deine Kernbasisvektoren an die Matrix multipliziert sollte ja eignetlich immer der Nullvektor heruas kommen (da ja so der Kern def. ist). Dies klappt aber in keinem der beiden oben angegeben Vektoren. Falls ich Fehler gemacht habe, bitte ich dies zu entschuldigen. Lg, Lycania
01.01.2011, 19:33	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urbilder der Basis habe das ehrlich gesagt noch nicht versucht. war bisher davon ausgegangen das meine basis stimmt, habe das so gemacht, dass ich zwei parameter frei wählen konnte, also mit variablen benannt habe. das fehlt ja dann auch, bei dem was du versucht hast. einer der vektoren der basis ist ja nicht das ergebnis, des gleichungssystems Ax=0 sondern das war ja der span der beiden vektoren. vielleicht drücke ich mich gerade missverständlich aus, aber wenn dus ausgerechnet hasr, müsste dir klar sein, was ich meine hoffentlich aber nochmal zum zweiten teil, also ich hab jetzt einfach mal weiterhin angenommen, dass ich meine basen stimmen. dann habe ich das lgs von Ax=b mit beiden vektoren der basis des bildes ausgerechnet. aber was fange ich mit dem ergebnis an? ruas habe ich jetzt als lösungsmengen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann ich mir da jetzt 2 vektoren auswählen und dann auf lineare unabhängigkeit prüfen und die dann als basisvektoren verwenden wenns klappt ?
02.01.2011, 18:09	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe jetzt das lgs von Ax=b mit beiden vektoren der basis des bildes ausgerechnet. aber was fange ich mit dem ergebnis an? ruas habe ich jetzt als lösungsmengen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann ich mir da jetzt 2 vektoren auswählen und dann auf lineare unabhängigkeit prüfen und die dann als basisvektoren verwenden wenns klappt ?
02.01.2011, 20:16	Bolzano	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst jetzt für s und t jeweils beliebige Zahlen einsetzen, dann jeweils die drei Vektoren addieren und Du bist fertig
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »