LGS mit Parametern

30.12.2010, 23:29

Voluptas

LGS mit Parametern

Aufgabe
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem, wobei a, b Parameter sind.

$\begin{eqnarray*} x_{2} + x_{3} + ax_{4} + 3x_{5} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} + bx_{5} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_{1} + 2x_{2} + \sqrt{2x_{4}} + 4x_{5} = 3 \end{eqnarray*}$

Vorgehen

Ich habe folgende Matrix erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & a & 3 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & 2 & b & -1\\ -3 & 2 & 0 & \sqrt{2} & 4 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese nach Gauss-Jordan vereinfache(?), dann erhalte ich diese Matrix hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{6a}{7} - \frac{\sqrt{2}}{7}-\frac{4}{7} & 2 - \frac{2b}{7} & \frac{5}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{9a}{7} + \frac{2*\sqrt{2}}{7}-\frac{6}{7} & 5-\frac{3b}{7}& \frac{18}{7}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{6}{7}-\frac{2*\sqrt{2}}{7}-\frac{2a}{7} & \frac{3b}{7}-2 & \frac{-11}{7}\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Problem

Das kann unmöglich bereits die Lösung sein. Dafür erscheint sie viel zu unhandlich. Was für weiterführende Schritte sind möglich? Oder ist dies etwa das Endresultat?

$\begin{eqnarray*} L=[ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \in R^{5}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-(\frac{6a}{7} - \frac{\sqrt{2}}{7}-\frac{4}{7}) - (2 - \frac{2b}{7}) - \frac{5}{7}, 1 - (\frac{9a}{7} + \frac{2*\sqrt{2}}{7}-\frac{6}{7}) - (5-\frac{3b}{7}& \frac{18}{7}), 1-(\frac{6}{7}-\frac{2*\sqrt{2}}{7}-\frac{2a}{7})- (\frac{3b}{7}-2)- \frac{-11}{7}, x_{4}, x_{5}] \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass die Parameter auch "definiert" werden können/sollten. So, dass "eindeutigere" Lösungen entstehen. So, dass das LGS als regulär, beziehungsweise singulär gilt. Jedoch weiss ich nicht, wie dies bei solch' grossen Termen zu "erraten" sein kann. Oder habe ich gar einen Rechenfehler gemacht und die Lösungsmatrix(?) ist eigentlich viel einfacher?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Gruss

Voluptas.

Edit von lgrizu: Ich hab auch mal nen Zeilenumbruch eingefügt, damit das etwas übersichtlicher wird

31.12.2010, 00:57

lgrizu

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RE: LGS mit Parametern
Zunächst ist das LGS nicht wirklich schön, ich habe das auch nicht nachgerechnet, denke aber, dass die Lösungen "schöner" sind, wenn man noch jede Zeile mit 7 durchmultipliziert.

Es reicht auch, die Matrix in die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & ............ \\ 0 & b_2 & b_3 & ............\\ 0 & 0 & c_3 & ............ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu bringen, einfache Zeilenstufenform.

Dann muss man noch die entsprechenden Variablen parametrisieren um den Lösungsraum zu bestimmen.

31.12.2010, 13:27

Voluptas

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RE: LGS mit Parametern
Also wenn ich "nur" die einfach Zeilenstufenform anwende, so erhalte ich so etwas:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac{3}{2}& -1 & -\frac{b}{2} & \frac{1}{2} \\ 0&1&1&a&3&1 \\ 0&0&1&\frac{6}{7} -\frac{2*\sqrt{2}}{7}-\frac{2a}{7} & \frac{3c}{7}-2 & -\frac{11}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Darf man hier die letzte Zeile mit 7 multiplizieren? Damit auch diese einfach wird? Dann würde ich so etwas erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac{3}{2}& -1 & -\frac{b}{2} & \frac{1}{2} \\ 0&1&1&a&3&1 \\ 0&0&7&6 -2*\sqrt{2}-2a& 3c-14 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann könnte man das doch gleich mit der ersten Zeile und 2 machen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -3& -2 & -b & 1 \\ 0&1&1&a&3&1 \\ 0&0&7&6 -2*\sqrt{2}-2a& 3c-14 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwie habe ich jetzt aber das Gefühl, dass es komplizierter ist, als der erste Vorschlag von dir. Also wenn ich alles mit Gauss-Jordan vereinfache und dann mit 7 multipliziere:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 & 6a-\sqrt{2} -4 & 14-2b & 5 \\0 & 7 & 0 & 9a + 2*\sqrt{2} - 6 & 35-3b & 18 \\ 0 & 0 & 7 & 6 - 2*\sqrt{2} -2a & 3b-14 & -11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann ja jetzt bereits aussagen, dass das System singulär ist.

Es ist nämlich nicht regulär, sprich: ich erhalte keinen eindeutigen Lösungspunkt.

Ist es richtig, wenn ich jetzt die Behauptungen aufstelle, dass:

das LGS in jedem Fall unendlich viele Lösungen besitzt, da bei jedem Wert von a, bzw. b die Koeffizientenmatrix den gleichen Rang besitzt wie die erweiterte Koeffizientenmatrix?
folglich nie eine leere Lösungsmenge resultiert?

Oder ist es so, dass wenn ich jetzt a und b so wähle, dass die Summe der beiden Terme für x4 und x5 7 ergibt, dann auch keine Lösung mehr gegeben ist? Als Beispiel nehme ich einmal die erste Zeile:
$\begin{eqnarray*} a= 2 ; b = - \frac{\sqrt{2}-15}{2} \end{eqnarray*}$
Wenn man jetzt die Lösungsmenge für x1 sucht, so würde man ja Folgendes aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} L = x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \in \mathbb R ^{5} : 7 -( 6a-\sqrt{2}-4)*x_{4} - (14-2b)*x_{5}, .... | a= 2; b= (- \frac{\sqrt{2}-15}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L = x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \in \mathbb R ^{5} :7 -( 6*2-\sqrt{2}-4)*x_{4} - (14-2*(- \frac{\sqrt{2}-15}{2}))*x_{5}, .... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L = x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \in \mathbb R ^{5} :7-(\sqrt{2}-8)*x_{4} + (\frac{\sqrt{2}-15}{2})*x_{5},... \end{eqnarray*}$
Falls nun x4 und x5 beide den Wert 1 besässen, so würde 0 resultieren. Dies ist aber keine allgemeine Lösung, oder ist dies bei der endgültigen Lösung anzugeben?

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich hier etwas viel zu kompliziert mache.
Gerade das Parametrisieren will nicht so richtig klappen. Ich bin der Meinung, dass es immer ein singuläres System mit unendlich vielen Lösungen ist. (Sonst müsste doch einer der Parameter in der erweiterten Koeffizientenmatrix sein?)

Danke für die bisherige Hilfe.

Gruss

Voluptas

PS: Wie kann ich die Koeffizientenmatrix von der erweiterten Koeffizientenmatrix "trennen" in Latex? (Also so ein schöner vertikaler Strich durch die Matrix hindurch?)

03.01.2011, 09:15

lgrizu

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RE: LGS mit Parametern
Ich habe mal zwei Schritte mit Gauß gemacht und komme auf folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 & 2 & b & |-1 \\ 0 & 10 & 9 & 6+2 \cdot \sqrt{2} & 3b+8 & | 3 \\ 0 & 0 & -1 & 6+ 2 \cdot \sqrt{2}-10a & 3b-22 & |-7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zuesrt habe ich die erste und die dritte Zeile vertauscht, dann habe ich das 3-fache der ersten Zeile zum 2-fachen der zweiten Zeile addiert und danach das 1-fache der zweiten Zeile zum (-10)-fachen der dritten Zeile addiert.

Ich frage mich auch, wieso bei dir plötzlich ein c auftaucht, in dem LGS

Zitat:

Original von Voluptas
$\begin{eqnarray*} x_{2} + x_{3} + ax_{4} + 3x_{5} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} + bx_{5} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x_{1} + 2x_{2} + \sqrt{2x_{4}} + 4x_{5} = 3 \end{eqnarray*}$

gibt es gar kein c.

Ich denke auch, viel einfacher wird die Matrix nicht.

Nun muss man noch 2 Unbekannte parametrisieren, dann kann man den Lösungsraum als Parametergleichung einer 2-d Ebene präsentieren.

03.01.2011, 09:53

Voluptas

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Oh, keine Ahnung, wie das "c" da hinein gekommen ist. Wird wohl ein Tippfehler sein. Ich werde mir nochmal die Rechenschritte anschauen, habe sie jedoch gerade nicht zur Hand.

Was bedeutet denn genau "parametrisieren"? Den Begriff hast du jetzt schon mehrmals verwendet, ich bin mir nicht wirklich sicher, dass ich verstanden habe, was du damit meinst.

Ich hätte jetzt einfach (wie in meinem Beispiel) den Wertebereich(?) für die Parameter festgelegt, daraus sollte dann folgen, was für Lösungen man erwarten kann. Oder bin ich damit auf dem Holzweg?

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 09:56

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ hängen nicht von a oder b ab, deshalb ist der Rang der Matrix unabhängig von der Wahl von a und b immer 3, die Matrix hat also vollen Rang, damit existieren unendlich viele Lösungen, egal, wie a und b gewählt werden.

Parametrisieren bedeutet, $\begin{eqnarray*} x_5= \lambda, ~x_4= \mu \end{eqnarray*}$ zu setzen und den Lösungsraum in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ darzustellen.

03.01.2011, 10:22

Voluptas

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Zitat:

Ich kann ja jetzt bereits aussagen, dass das System singulär ist.

•Es ist nämlich nicht regulär, sprich: ich erhalte keinen eindeutigen Lösungspunkt.

Ist es richtig, wenn ich jetzt die Behauptungen aufstelle, dass:

•das LGS in jedem Fall unendlich viele Lösungen besitzt, da bei jedem Wert von a, bzw. b die Koeffizientenmatrix den gleichen Rang besitzt wie die erweiterte Koeffizientenmatrix?

•folglich nie eine leere Lösungsmenge resultiert?

Also war das richtig, ja?

Bisher hatten wir den Lösungsraum nie darstellen müssen, ich denke, dass brauche ich für diese Aufgabe auch nicht. Jedoch würde es mich interessieren, wie das denn gemacht wird?

Wir hatten die Lösung dann ungefähr so beschrieben:

Ist nie regulär, da mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind
Ist singulär und besitzt in jedem Fall unendlich viele Lösungen

Aber als Lösung dann so etwas anzugeben ist gar unhandlich:
$\begin{eqnarray*} L= \{(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5} \in \mathbb R ^{5} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (7-(6a-\sqrt{2}-4)\cdot x_{4} -(14-2b)\cdot x_{5}-5; 7-(9a+2\cdot \sqrt{2}-6)\cdot x_{4} - (35-3b)\cdot x_{5} - 18; 7 - (6-2\cdot\sqrt{2}-2a)\cdot x_{4} - (3b-14)\cdot x_{5} +11;x_{4};x{5})\} \end{eqnarray*}$

Beziehungsweise:

$\begin{eqnarray*} L= \{(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5} \in \mathbb R ^{5} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-2 -2x_{2} - 3x_{3} -2x_{4}-bx_{5} +1; 10 - 9x_{3} - (6+2\cdot\sqrt{2})x_{4} - (3b+8)x_{5}; -1 -(6+2\cdot\sqrt{2}-10a)x_{4} - (3b-22)x_{5} -7;x_{4};x{5})\} \end{eqnarray*}$

Ich habe immer noch das Gefühl, dass ich irgendetwas falsch mache.

Gruss

Voluptas

Edit von lgrizu: auch hier der übersichtlichkeit halber Zeilenumbrüche eingefügt, versuche, solche Latex-Monster zu vermeiden oder benutze Zeilenumbrüche, damit es übersichtlicher wird

03.01.2011, 13:57

lgrizu

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Dass das LGS nicht eindeutig lösbar ist sollte klar sein. Die Argumentation, dass der Rang der erweiterten Matrix in jedem Fall, also unabhängig der Wahl von a und b, gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix ist und es deshalb in jedem Fall unendlich viele Lösungen gibt ist auch richtig.

Der Lösungsraum ergibt sich nun wie folgt:

Wir setzen $\begin{eqnarray*} x_5=\lambda,~x_4=\mu \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} x_3=(6+2 \cdot \sqrt{2}-10a) \mu+(3b-22) \lambda +7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{8 \cdot (6+ 2 \cdot \sqrt{2})-90a}{10} \cdot \mu-\frac{8 \cdot (3b-22)}{10} \lambda +\frac{66}{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{2 x_2+ 3 x_3+2 x_4 + b x_5+1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Gleichnung muss man nun noch x_2, x_3, x_4, x_5 entsprechend einsetzen (ist eigentlich nur viel Rechenarbeit auf die ich jedoch jetzt mal verzichtet habe), also in abhängigkeit von lambda und mu, dann kann man den Lösungsraum in der Form $\begin{eqnarray*} \vec{x}+ \lambda \vec{y}+ \mu \vec{z} \end{eqnarray*}$ darstellen.

Aber viel "handlicher" wird es dadurch nicht wirklich.

03.01.2011, 15:34

Voluptas

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Also dann ist für mich die Aufgabe eigentlich so abgeschlossen.
Entschuldigt bitte den riesigen Latex-Ausdruck, ich werde das in Zukunft mehr beachten.

Danke vielmals für deine Hilfe!

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 15:36

lgrizu

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Nichts für ungut, viel Spaß noch, und wenn du Fragen hast, du weißt, wo du uns findest Augenzwinkern

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