Ring, Integritätsring

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dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »
Ring, Integritätsring
Ich habe ein paar kleine Fragen zu folgender Aufgabe.

Sei eine Menge mit und sei die Potenzmenge von .
mit den Verknüpfungen


ist ein Ring.

Nun soll ich das neutrale Element der Addition, das neutrale Element der Multiplikation und für das additive Inverse bestimmen.

Das grundsätzliche zur Ringtheorie ist mir glaub ich schon klar, nur stehe ich hier glaube ich einfach bei der Umsetzung etwas auf dem Schlauch.
Denn einerseits bin ich der Meinung, es müsste , und sein, aber andererseits kann das ja eigentlich nicht so einfach sein. Irgendwo denke ich da wohl falsch?!

Außerdem die Frage, ob R ein Integritätsring ist?

Hier würde ich sagen, dass R kein Integritätsring ist, da für jedes gilt

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe und einen guten Rutsch!
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ring, Integritätsring
Zitat:
Original von dingdong123
Denn einerseits bin ich der Meinung, es müsste , und


Das Problem ist, dass du für die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen Symbole benutzt hast die a priori nichts heißen.
Wähle zum Beispiel . Dann ist . Ich kann da kein Element finden.
Schlage die Definition der Null und der Eins in einem Ring nach.
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt, 0 und 1 habe ich in dem Sinne nicht.
Also neuer Versuch:

Wenn ist, dann muss ja für das Nullelement gelten und für das Einselement muss gelten.

Sei also . Dann ist .

Sei . Dann ist .

Kann das eher stimmen?

Was mache ich mit dem additiven Inversen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Die Null ist okay, aber deine Eins hängt von X ab, das sollte nicht sein.

Jetzt wo du deine Null gefunden hast, kannst du die Eigenschaft der additiven Inversen definieren und nach solchen Elementen suchen.
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte die Eins auch so wählen, das müsste dann stimmen, oder?

Sei . Dann ist .

Aber das mit dem additiven Inversen verstehe ich irgendwie nicht. verwirrt
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt passt auch deine Eins.

Definiere nun additive Inverse. In dieser Definition sollten die Symbole + und 0 vorkommen. Diese kannst du durch die vorgegebene Addition und dein gefundenes Nullelement ersetzen und erhälst eine bedingung für das additive Inverse eines Elements aus R.
 
 
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das additive Inverse ist so definiert, dass für gilt:


Allgemein müsste doch aus folgen, dass gilt.

Also hier für und :

Daraus würde doch dann aber folgen, dass , also jedes Element sein eigenes Inverses ist.

Die Gleichung ergibt dann für :
.
Das würde also passen. Richtig?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dingdong123
Allgemein müsste doch aus folgen, dass gilt.


Nein, betrachte mein Beispiel von oben:
, aber

Zitat:
Original von dingdong123
Die Gleichung ergibt dann für :
.
Das würde also passen. Richtig?

Das stmmt jetzt allerdings wieder.
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal ein frohes neues Jahr!!! Prost

---

Zitat:
Original von pseudo-nym
Nein, betrachte mein Beispiel von oben:
, aber


Ok, da hast du natürlich Recht! Aber diese Aussage hätte ich ja eigentlich sowieso nicht gebraucht.

Zitat:
Original von pseudo-nym
Zitat:
Original von dingdong123
Die Gleichung ergibt dann für :
.
Das würde also passen. Richtig?

Das stmmt jetzt allerdings wieder.


D.h. ich kann wirklich sagen, dass ist und fertig?

-----

Bleibt noch der zweite Teil meiner Frage: Ist ein Integritätsring?
Stimmt da meine Aussage von vorhin? Bzw. wenn ja, kann ich das formal auch so aufschreiben mit dem am Ende? Bin mir da nicht so sicher.

Zitat:
Original von dingdong123
Hier würde ich sagen, dass R kein Integritätsring ist, da für jedes gilt
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dingdong123
Bleibt noch der zweite Teil meiner Frage: Ist ein Integritätsring?
Stimmt da meine Aussage von vorhin? Bzw. wenn ja, kann ich das formal auch so aufschreiben mit dem am Ende? Bin mir da nicht so sicher.

Zitat:
Original von dingdong123
Hier würde ich sagen, dass R kein Integritätsring ist, da für jedes gilt


Ich korrigier mich mal selbst, also wenn dann würde ich eher schreiben
ist kein Integritätsring, da für jedes mit gilt .
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dingdong123
D.h. ich kann wirklich sagen, dass ist und fertig?

Ja

Zitat:
Original von dingdong123
Stimmt da meine Aussage von vorhin? Bzw. wenn ja, kann ich das formal auch so aufschreiben mit dem am Ende? Bin mir da nicht so sicher.

Da wir gerade festgestellt haben, dass es eine Null gibt, darfst du jetzt auch von ihr reden.

Zitat:
Original von dingdong123
Hier würde ich sagen, dass R kein Integritätsring ist, da für jedes gilt

Ich nehme mal an du willst Nullteiler finden. Allerdings taugen deine Mengen dafür nicht, denn die Ungleichheitsrelation ist nicht transitiv und dein B könnte auch Null werden.
Was du meinst ist glaube ich

Dies ist äquivalent zur Aussage, dass alle von Null verschiedenen Mengen Nullteiler sind.
Das ist aber falsch, betrachte
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Ich nehme mal an du willst Nullteiler finden.


Das ist ja die Voraussetzung für eine Integritätsring, bzw. eher für keinen Integritätsring. Nach Definition gilt ja:
Wenn ich einen Nullteiler finde, es also ein mit oder gibt, wobei ist, dann ist kein Integritätsring.
Oder anders gesagt, ist ein Integritätsring, wenn der einzige Nullteiler ist.

Das heißt, ich muss entweder einen Nullteiler finden oder zeigen, dass es keinen solchen gibt.

Erst mal ein kleines formales Schreibproblem. Ich habe hier die allgemeine Definition aufgeschrieben. Liege ich richtig, wenn ich sage, dass ich, um die Definition auf diese Aufgabe zu übertragen, die als (und somit als ) sowie als (und somit ebenfalls als ) schreiben muss?

Setzen wir also mal die Definition der Multiplikation dieser Aufgabe in die Definition für Nullteiler ein:


Zitat:
Original von pseudo-nym
Was du meinst ist glaube ich

Dies ist äquivalent zur Aussage, dass alle von Null verschiedenen Mengen Nullteiler sind.
Das ist aber falsch, betrachte


Ja, das habe ich gemeint, aber dein Gegenbeispiel ist einleuchtend.

Nur wenn ich wähle, dann ist, wie du in deinem Beispiel ja schon selbst gesagt hast, .

Für ist , also ist ein Nullteiler, der von verschieden ist.
Somit wäre kein Integritätsring.

Oder müsste dann für alle die Bedinung erfüllen?
In diesem Fall wäre ein Integritätsring, da in der Potenzmenge von mit immer ein solcher Fall wie in deinem Beispiel zu finden ist.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal zu :
Symbole wie benutzt man normalerweise nur, wenn man mehr als eine Struktur vorliegen hat, die eine Null enthält und man die Nullen auseinanderhalten muss. Dieses Problem haben wir hier nicht, also brauchen wir auch den Index nicht.
Desweiteren gilt:

Zwei Mengen ist genau dann gleich wenn sie die selben Elemente enthalten. enthält keine Elemente. enthält ein Element, nämlich die leere Menge.

Zitat:
In diesem Fall wäre ein Integritätsring, da in der Potenzmenge von mit immer ein solcher Fall wie in deinem Beispiel zu finden ist.

Du hast ja im vorigen Absatz wasserdicht gezeigt, dass kein Integritätsring ist, indem du einen Nullteiler gefunden hast.
Wenn das zitierte Argument jetzt stimmt, heißt das insbesondere, (da man aus die Elemente auswählen kann), dass ein Integritätsring ist. verwirrt
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: geschockt Klick-Unfall.
dingdong123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Jetzt ist glaube ich alles klar! Wink
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