k Kugeln nebeneinander

01.01.2011, 16:39

Mathe_2010?

k Kugeln nebeneinander

Hi there,

Ich hab' mir folgende Aufgabe überlegt, die garantiert schon in diesem Board diskutiert wurde, daher wäre ich schon mit einem Verweis auf einen solchen Thread zufrieden, falls Euch einer in Erinnerung ist.

Es geht um einen Ring mit N=m+n Plätzen, an jedem sitzt entweder eine schwarze (davon gibts n) oder eine weiße Kugel (davon gibt's m). Ich will nun ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, sodass sich mindestens einmal ein "Cluster" mit genau k schwarzen Kugeln nebeneinander ergibt.

Kurzes Beispiel: N=6; m=3 und k=2 so gibt es 10 Möglichkeiten

SSWSWW
SSWWSW
WSSWSW
WSSWWS
WWSSWS
SWSSWW
SWWSSW
WSWSSW
WSWWSS
WWSWSS

Ich dachte, um auf die Anzahl der gesuchten Möglichkeiten zu kommen, könnte man doch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses berechnen und dies dann mit (N über m) also der Gesamtzahl aller möglichen Kombinationen multiplizieren.

Im Beispiel: $\begin{eqnarray*} (\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3})\cdot 6 =0,6 \end{eqnarray*}$

(In der Klammer steht die Wahrscheinlichkeit, mit der man W, dann 2 x S und schließlich wieder W zieht // die 6 steht dafür, dass sich dieses Cluster im Ring an 6 verschiedenen Positionen befinden kann)

Doch leider ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} \cdot p= \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 0,6=12\neq 10 \end{eqnarray*}$

Was mach ich denn falsch?

Gruß Wink

01.01.2011, 16:53

wisili

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RE: k Kugeln nebeneinander
Es sind für mich 2 Fragen zu klären:
1.
Ist der Ring geschlossen, sodass der Cluster Anfang und Ende des linearen N-Tupels umfassen kann? z.B. SWSWWS
2.
Die Nachbarn des Clusters erweitern ihn möglicherweise: Wieviele Cluster mit «genau» k=2 liegen in WWSSSW vor? (0 oder 2)

01.01.2011, 16:59

Math1986

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Okay,
Betrachten wir erstmal den Fall SSWxxW
Für die verbleibenden S und W habe ich offenbar genau 2 freie Kombinationen.

Dann bleiben 5 Positionen für das schwarze Päärchen:

Also insgesamt 5*2=10 Möglichkeiten.

EDIT:

Zitat:

Original von wisili
Ist der Ring geschlossen, sodass der Cluster Anfang und Ende des linearen N-Tupels umfassen kann? z.B. SWSWWS

Das wäre in der Tat noch zu klären, wenn SwxxWS zulässig wäre dann komme ich auch auf 12, was mit dem Ergebnis des Threadstarters übereinstimmt.

Zitat:

Original von wisili
Die Nachbarn des Clusters erweitern ihn möglicherweise: Wieviele Cluster mit «genau» k=2 liegen in WWSSSW vor? (0 oder 2)

Bei genau 2 Kugeln nebeneinander ist das ziemlich eindeutig KEINE richtige Lösung

01.01.2011, 18:32

Mathe_2010?

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Hi nochmal,

Ja, der Ring ist in der Tat geschlossen. Ich hab offenbar die Kombinationen

SWSWWS
SWWSWS

übersehen. Also sind's doch 12 Möglichkeiten. Vielen Dank euch beiden, dass ihr mich darauf aufmerksam gemacht habt. Darf ich also mit dem Prinzip:

$\begin{eqnarray*} |E| =P(E) \cdot |\Omega| \end{eqnarray*}$

gehen? Schließlich sind ja alle Kombinationen gleichberechtigt (=> Laplace) und ich sehe auch sonst keinen Grund (mehr), warum das nicht stimmen sollte.

Dann könnte ich das doch verallgemeinern. Ich nenne die Menge der gesuchten Möglichkeiten mal E dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(E)=(\frac{m}{N} \cdot \frac{n}{N-1} \cdot \frac{n-1}{N-2} \cdot ...\cdot \frac{n-k+1}{N-k}\cdot \frac{m-1}{N-k-1})\cdot N \end{eqnarray*}$

und mit

$\begin{eqnarray*} |\Omega|= \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} |E| =P(E) \cdot |\Omega|= (\frac{m}{N} \cdot \frac{n}{N-1} \cdot \frac{n-1}{N-2} \cdot ...\cdot \frac{n-k+1}{N-k}\cdot \frac{m-1}{N-k-1})\cdot N \cdot \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die Verallgemeinerung stimmt, denn ich habe keine Lust den Term da oben umsonst versuchen zu vereinfachen Big Laugh

Gruß

02.01.2011, 10:55

Huggy

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Zitat:

Original von Mathe_2010?
Ich hoffe die Verallgemeinerung stimmt, denn ich habe keine Lust den Term da oben umsonst versuchen zu vereinfachen Big Laugh

Tut mir leid für dich, aber dein P(E) ist für die Problemstellung nicht allgemeingültig. Man betrachte z. B. das Beispiel n =4, m = 3, k =2. Deine Formel ergibt $\begin{eqnarray*} |E| =21 \end{eqnarray*}$ . Richtig ist aber $\begin{eqnarray*} |E| = 14 \end{eqnarray*}$

Der Fehler liegt daran, dass die gesuchte Kombination (hier WSSW) eventuell mehrfach in dem Kreis auftreten kann. Dann wird sie bei dir auch mehrfach gezählt. Sie sollte aber nur einmal gezählt werden.

Deine Methode führt zu folgender Zählung: Man setze die gesuchte Kombination an eine bestimmte Stelle, z. B. den Anfang. Die restlichen Positionen fülle man auf alle möglichen Arten mit den verbleibenden Kugeln. Die Zahl dieser Kombinationen multipliziere man mit N, weil die gesuchte Kombination an jeder der N Stellen beginnen kann. Bei meinem Beispiel verbleiben 3 Stellen, die man auf 3 Arten füllen kann:

1) WSSW SWS
2) WSSW SSW
3) WSSW WSS

3*7 =21

1) führt durch zyklische Verschiebung tatsächlich zu 7 Möglichkeiten. 2) und 3) ergeben aber zusammen nur 7 Möglichkeiten, weil die zyklische Verschiebung von 2) auch zu 3) führt. Es sind also insgesamt nur 14 Möglichkeiten.

02.01.2011, 13:40

Mathe_2010?

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Du hast recht. Ein Jammer.

Heißt das, ich muss da mit der Siebformel ran? Das würde dann wohl meine Fähigkeiten sprengen, zumal ich ja noch nicht einmal mit studieren angefangen habe Hammer

02.01.2011, 13:52

Huggy

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Ich sehe jedenfalls keinen einfachen Weg zu einer allgemeinen Formel. Für konkrete und nicht zu große Zahlenwerte kann man sich das spezielle Ergebnis natürlich mit erträglichem Aufwand erarbeiten.

02.01.2011, 14:44

Mathe_2010?

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Na gut. Auf jeden Fall bin ich eurer Hilfe sehr dankbar.

Gruß

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