Zerlegbarkeit von Polynomen in Z[X] überprüfen

01.01.2011, 17:13

Duude

Zerlegbarkeit von Polynomen in Z[X] überprüfen

Hallo,
meine Aufgabe lautet:

Sind die folgenden Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel?

a) 3X+3
b) $\begin{eqnarray*} x^2+2x+5 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} x^3+9x^2-5 \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} x^5 +6x^3+6x^2+3 \end{eqnarray*}$

Bei c) habe ich schon eine Lösung gefunden. Und zwar ist das Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel, es lautet dort $\begin{eqnarray*} x^3 + x^2+1 \end{eqnarray*}$ und die möglichen Nullstellen x=1 und x=0 führen jeweils dazu, dass das Polynom zu 1 wird. Es hat also keine Nullstelle und ist vom Grad größer als 1. Damit ist es in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2 \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Da der führende Koeffizient 1 ist, folgt daraus, dass das Polynom auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Bei den anderen drei Polynomen funktionniert diese Herangehensweise aber nicht, deshalb stecke ich gerade etwas fest. Wie könnte ich denn noch überprüfen, ob ein Polynom irreduzibel ist oder durch eine Zerlegung herausfinden, dass es reduzibel ist?

Würde mich über Hilfe freuen.

lg
Duude

01.01.2011, 18:42

Mulder

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RE: Zerlegbarkeit von Polynomen in Z[X] überprüfen
Bei Aufgabe a) soll da wirklich ein Polynom vom Grad 1 stehen? Denn da ist die Frage nach der Irreduzibilität irgendwie trivial.

Bei der b) kannst du mit Nullstellen argumentieren (warum?).

Zur d): Hattet ihr vielleicht schon das Eisensteinkriterium?

Die c) stimmt. Das Polynom modulo 2 zu reduzieren wäre nicht unbedingt nötig gewesen, aber kann man natürlich machen.

01.01.2011, 20:47

Duude

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Danke erstmal für deine Tipps.

zu a) die Aufgabe stimmt schon so. Ich finde die Aufgabe nicht ganz so trivial, weil ich noch Probleme habe die Irreduzibilität über verschiedenen Polynomringen nachzuprüfen. Also ich könnte das natürlich zerlegen in 3(X+1). Aber ist das auch eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ? Und wäre das auch eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ?

zu b) Ich darf hier über die Nullstellen argumentieren, da es sich um ein Polynom vom Grad kleiner gleich 3 handelt. Denn wenn es in diesem Fall eine Nullstelle gibt, muss ich diese alleine ausklammern (das ergibt also ein Polynom vom Grad 1). Hätte ich ein Polynom vom Grad 4 oder größer dürfte ich nicht über die Nullstelle argumentieren, da ich dort eben auch schon zerlegen kann, wenn es keine Nullstellen gibt. (z.B. in zwei Polynome vom Grad 2).

Hier habe ich mit der Mitternachtsformel die Nullstellen
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-1 \pm 2i \end{eqnarray*}$ erhalten.
Das Polynom ist also reduzibel und zerfällt zu $\begin{eqnarray*} x^2+2x+5=(x+1+2i)(x+1-2i) \end{eqnarray*}$ . Ich habe das auch wieder ausmultipliziert um es zu überprüfen.
Aber auch hier wieder meine Frage: Ist das eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ? Ich würde sagen nein. Das ist eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ . Damit ist das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ reduzibel aber über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ habe ich noch keine Aussage getroffen.

zu c) Wie könnte man das Polynom hier natürlich machen?

zu d) Das Eisensteinkriterium ist ein Irreduzibilitätskriterium und besagt, dass ein Polynom irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist, wenn es eine Primzahl p gibt (hier wäre das p= 3) für die gilt, p teilt alle Koeffizienten außer dem Leitkoeffizienten und p² teilt nicht die Konstante am Ende.

Das ist hier erfüllt und damit ist d) nach Eisenstein irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich hier aber noch auf die Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ schließen. Wie könnte ich das anstellen?

Ich soll in der folgenden Aufgabe auch noch all diese Polynome auf Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ untersuchen, von daher ist das auch ganz hilfreich. Ich dachte ich fange eben mal mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ an, weil mir das am einfachsten erschien...

01.01.2011, 21:07

Mulder

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Zitat:

Original von Duude
Also ich könnte das natürlich zerlegen in 3(X+1). Aber ist das auch eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ? Und wäre das auch eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ?

Es geht dabei doch darum, die Polynome in Faktoren vom Grad größergleich 1 zu zerlegen. Sonst kann man ja auch immer weiter "zerlegen" und schreiben

$\begin{eqnarray*} x+1=1 \cdot (x+1)=1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (x+1) \end{eqnarray*}$

etc. Wäre ja irgendwie witzlos, oder? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Duude
Aber auch hier wieder meine Frage: Ist das eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ? Ich würde sagen nein. Das ist eine Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ . Damit ist das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ reduzibel aber über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ habe ich noch keine Aussage getroffen.

Doch, hast du. Reduzibel über Z müsste ja heißen, dass es eine Zerlegung derart gibt, dass in der Zerlegung in allen Faktoren alle Koeffizienten wieder ganzzahlig sind. Damit wir uns weiterhin in Z[X] befinden. Notwendig wäre dafür, dass es auch eine Nullstelle in Z gibt. Und du hast doch nun nachgewiesen, dass das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen hat.

Zitat:

Original von Duude
zu c) Wie könnte man das Polynom hier natürlich machen?

Eigentlich genau so, wie du es in Z2 gemacht hast: Du schaust, ob das Polynom ganzzahlige Nullstellen hat. Die hat es nicht, also ist es irreduzibel (denn der Grad ist ja 3). Wie gesagt: Du darfst das ruhig so machen, wenn du willst. Aber die Schlüsse, die du in Z2 gezogen hast, hättest du auch ohne Reduktionskriterium schließen können. Denn eine etwaige ganzzahlige Nullstelle eines normierten Polynoms muss auch ein Teiler des Absolutgliedes sein (in diesem Fall ist das ja die -5). Das heißt, da kämen nur vier in Frage, die man hätte ausprobieren müssen, nämlich -1,1,-5 und 5.

Zitat:

Original von Duude
Das ist hier erfüllt und damit ist d) nach Eisenstein irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss ich hier aber noch auf die Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ schließen. Wie könnte ich das anstellen?

Das folgt sofort aus der Tatsache, dass das Polynom normiert ist.

01.01.2011, 23:55

jester.

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Die Aufgabe (a) steht schon aus einem ganz bestimmten Grund da: In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ist die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ eine Einheit, nicht jedoch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ . Soll heißen: Über den rationalen Zahlen ist $\begin{eqnarray*} 3X+3 \end{eqnarray*}$ irreduzibel, da vom Grad 1, über den ganzen Zahlen ist es jedoch zerlegbar in das Produkt zweier Nichteinheiten.

Da $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb{Z}^* \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1 \cdot 1 (X+1) \end{eqnarray*}$ allerdings wirklich witzlos. Augenzwinkern

01.01.2011, 23:58

Mulder

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Schau an, danke für den Hinweis. smile

02.01.2011, 22:54

Duude

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ok, also ist a) über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ reduzibel, da die 3 keine Einheit ist. Das Polynom lautet zerlegt $\begin{eqnarray*} P=3(X+1) \end{eqnarray*}$

(3 ist keine Einheit, da ich sie mit keinem Element aus den ganzen Zahlen multiplizieren kann, sodass sich das neutrale Element der Multiplikation ergibt. Ich müsste nämlich mit 1/3 multiplizieren, was nicht in den ganzen Zahlen liegt. Genau aus diesem Grund ist 3 in den rationalen Zahlen - wo ja die Brüche enthalten sind - eine Einheit und deshalb ist 3x+3 in den rationalen Zahlen irreduzibel.)

Kann ich damit auch sagen, dass die Zerlegung eindeutig bis auf Einheiten ist? In den ganzen Zahlen sind ja 1 und -1 Einheiten und ob ich das Minus bei der einen oder anderen Klammer dazuschreibe ist ja egal. z.B. wäre dann -3(-x-1) auch eine Zerlegung, da ich mit -1 durchmultipliziert habe, welches eine Einheit in den ganzen Zahlen ist?

Wenn ich jetzt dasselbe Polynom 3x+3 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$ betrachte, ist es hier aus demselben Grund irreduzibel, wie über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ . Auch hier ist die 3 keine Einheit, sodass 3(X+1) keine Zerlegung darstellt.
Ist das richtig so?

zu b)Da ich dieses Polynom auf die Nullstellen hin untersucht habe und nur komplexe Nullstellen gefunden habe, kann ich sagen:
- das Polynom ist reduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X] \end{eqnarray*}$
Da es damit keine reellen und keine ganzen Nullstellen hat gilt:
-das Polynom ist irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ .

zu c)
Da kann man das Polynom auf Nullstellen untersuchen, da es vom Grad kleiner gleich 3 ist. Da die vier möglichen ganzzahligen Nullstellen nicht zum Ergebnis 0 führen, ist das Polynom irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ .

Hier noch eine Frage dazu. Wir haben hier ja nur 5, -5, 1 und -1 untersucht, da diese Teiler des Absolutgliedes sind. Also hat das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen. Kann ich daraus auch schließen, dass das Polynom gar keine Nullstellen hat? Dann wäre es ja auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Oder kann ich das nicht schließen?

zu d) noch eine Frage zur Normierung. Das Polynom ist nach Eisenstein über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Aus der Normierung folgt, dass es auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[Z] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Ist Normierung gleichbedeutend damit, dass der Leitkoeffizient=1 ist, oder kann auch ein Polynom dessen Leitkoeffizient nicht 1 ist, normiert sein? Also wenn der ggT aller Koeffizienten = 1 ist?

Dann wäre z.B. auch 3X+5 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ normiert, da 3 und 5 Primzahlen sind und somit $\begin{eqnarray*} 1,-1 \in ggT(3,5) \end{eqnarray*}$ ist.

Und dann wäre die Normierung ja unter $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ unterschiedlich, da in den ganzen Zahlen nur 1 und -1 Einheiten sind und in den rationalen Zahlen z.B. auch alle Brüche und ganzen Zahlen.

02.01.2011, 23:40

Mulder

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RE: Zerlegbarkeit von Polynomen in Z[X] überprüfen

Zitat:

Original von Duude
Hier noch eine Frage dazu. Wir haben hier ja nur 5, -5, 1 und -1 untersucht, da diese Teiler des Absolutgliedes sind. Also hat das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen. Kann ich daraus auch schließen, dass das Polynom gar keine Nullstellen hat? Dann wäre es ja auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X] \end{eqnarray*}$ und über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel. Oder kann ich das nicht schließen?

Nein, das kannst du absolut nicht schließen. Dass dieses Polynom zum Beispiel auf jeden Fall mindestens eine reelle Nullstelle hat, sieht man auch ohne Rumrechnen schon sofort, weil der höchste Exponent ungerade ist. Betrachte dazu zum Beispiel die Grenzwerte für x gegen plus und minus unendlich. Die Existenz mindestens einer Nullstelle folgt dann sofort aus der Stetigkeit von Polynomen (in Verbindung mit dem Zwischenwertsatz zum Beispiel).

Zitat:

Original von Duude
Ist Normierung gleichbedeutend damit, dass der Leitkoeffizient=1 ist

Genau.

Übrigens: Über C ist jedes Polynom vom Grad größer gleich 2 reduzibel, bedenke den Hauptsatz der Algebra.

07.01.2011, 12:21

Duude

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Zitat:

Klar, da hast du natürlich Recht. Das Polynom muss (als Funktion betrachtet) ja irgendwann die x-Achse schneiden, da es von - unendlich kommt und nach + unendlich geht und stetig ist.

Da schließt sich für mich aber gleich eine neue Frage an: Wie könnte ich denn dann ein Polynom auf Irreduzibilität untersuchen, dessen höchster Koeffizient gerade ist? Gibt es da ein Kriterium, das ich anwenden könnte (außer z.B. Eisenstein)

Kann ich hier auch über andere Ringe gehen und z.B. aus der Irreduzibilität über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ etwas folgern?

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