Elastizität berechnen

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jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »
Elastizität berechnen
Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen und verstehe einfach nicht, wie man auf das Ergebnis kommt:

Für die Nachfragefunktion p(x)=4000-0,1x für Computer eines bestimmten Modells soll die Preiselastizität der Nachfrage für p1=3000 bestimmt werden.

Berechnen und interpretieren Sie die Preiselastizitäten!

Meine Ideen:
Der Antwortsatz soll sein:
"Eine Preiserhöhung von 1% verursacht an der Stelle p1=3000 eine Änderung der Nachfrage von 3%."

Egal was ich versuche, ich komme einfach nicht drauf.
Helft mir bitte. :-)
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elastizität berechnen
Ich kenne zwar den Begriff "Preiselastizität" nicht, schlage aber einfach vor, mit einfacher Prozentrechnung die Ergebnisse zu vergleichen.

Wenn ich richtig verstanden habe, liefert p(x) die Nachfrage in Stück bei Angabe eines Preises x.
Hier ist der Ausgangspreis x = 3000.

Dann erhöhe doch einfach mal den Preis x um 1%, wie gefordert, und berechne die Nachfrage p(x). Und dann vergleiche die ursprüngliche Nachfrage mit der geänderten Nachfrage.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Roman

p sehe ich nicht als Stückzahl, sondern als den Preis an. Als Variable für die Stückzahl wird demgemäß x zu betrachten sein.
----------------

Im Board wurden schon einige diesbezügliche Aufgaben behandelt. Hast du schon die Boardsuche bemüht?

Nach der angegebenen Lösung müsste also die Preiselastizität der Nachfrage



lauten.

Die Funktion ist allerdings noch nicht die Nachfragefunktion, sondern die Preisabsatzfunktion p = p(x) (PAF). Von dieser ist zuerst die Umkehrfunktion x = x(p) zu bilden und dann erst ihre Elastizität an der Stelle p1 = 3000 zu berechnen.

Man kann dabei alternativ auch zunächst die zu p1 = 3000 gehörende Stückzahl x1 ermitteln und danach die Elastizität der PAF bei dieser bestimmten Stückzahl berechnen und für die Nachfragefunktion von dieser den Kehrwert nehmen. Hier wird sich zunächst für die PAF 1/3, daher für die Nachfrage dann wiederum 3 ergeben. Denn es gilt allgemein, dass das Produkt der Elastizität einer Funktion mit jener der Umkehrfunktion immer 1 ergeben muss.

Da die PAF und demgemäß auch die Nachfragefunktion linear sind, kann die Elastizität mittes Differenzenbildung aus zwei beliebigen Wertepaaren auch ohne Ableitung berechnet werden.
Dazu dient die Elastizitätsfunktion. Es gilt dabei



Warum das so ist, ergibt sich aus der Definition der Elastizität:



mY+

Preis-Absatz-Funktion

Elastizität der Kostenfunktion berechnen
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
@Roman

p sehe ich nicht als Stückzahl, sondern als den Preis an. Als Variable für die Stückzahl wird demgemäß x zu betrachten sein.


Ich habe mich durch den Begriff "Nachfragefunktion" irreführen lassen.

Intepretiere ich aber die Funktion so, wie von Dir beschrieben, und setze den um den Prozentwert geänderten Preis ein und vergleiche dann den alten mit dem geänderten Nachfragewert ,so komme ich genau auf die von jessyK89 angegebenen Prozentwerte im Antwortsatz.

Ich vermute deshalb, daß die ganze Sache wirklich viel einfacher als beschrieben ist, d.h. es geht eventuell tatsächlich nur um die Änderungen in der Nachfragefunktion und überhaupt nicht um die Elastizitätsfunktion.

Ich möchte meine Berechnung jetzt hier nicht hinschreiben (wenige Zeilen), um keine fertige Lösung zu liefern. Kann sie aber auf Wunsch posten oder per pn senden.

@jessyK89
Wäre es also denkbar, daß die Fragestellerin nur irrtümlich von der Elastizitätsfunktion spricht?

PS: Ich habe keine Erfahrung mit Wirtschaftmathematik. Ich wurde nur durch die einfache Form der Funktion p(x) zur Antwort herausgefordert.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Roman

Bitte Lösungen WEDER posten NOCH per PN versenden. Das ist nicht konform mit den Boardregeln. Als Newbie solltest du dir diese vielleicht mal genauer durchlesen!

Im Allgemeinen ist exakt immer mit der Elastizitätsfunktion zu rechnen und dabei ist auch unbedingt statt des Differenzenquotienten der Differentialquotient (die Ableitung) zu verwenden (*), denn meistens sind die zu untersuchenden Funktionen NICHT linear. In diesem Fall liefert die Differenzmethode nur mittlere Änderungen und demgemäß stellen auch die so berechneten Elastizitäten nur Näherungswerte dar.

Bei einer linearen PAF kann man, wie beschrieben, auch direkt mittels der durch Differenzbildung berechneten Änderungsraten zum Ziel kommen. Das funktioniert jedoch nur bei Linearität der betrachteten Funktion.

mY+

(*)
Definition der Elastizität:
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Bei einer linearen PAF kann man, wie beschrieben, auch direkt mittels der durch Differenzbildung berechneten Änderungsraten zum Ziel kommen. Das funktioniert jedoch nur bei Linearität der betrachteten Funktion.
mY+


Darf ich das als Bestätigung meines vorgeschlagenen Berechnungsprinzips interpretieren?

Ich nehme an, ja.
1.) In der Aufgabenstellung liegt eine lineare Funktion p(x) vor.
2.) Setzt man in p(x) den ursprünglichen Preis 3000 bzw. den um den vorgegebenen Prozentwert 1% geänderten Preis ein, so kann man die ursprüngliche Stückzahl x bzw. die veränderte Stückzahl x' miteinander vergleichen.
3.) Die berechneten Stückzahlen x und x' unterscheiden sich um genau 3%, wie im Anwortsatz gefordert (was durch Einsetzung der entsprechenden Werte in p(x) einfach zu zeigen ist).

Da jessyK89 ausgehend von p(x) nicht auf den angegebenen Antwortsatz kommt, muß sie sich einfach irgendwo verrechnet haben.

Ich habe den für jessyK89 nicht nachzuweisenden Antwortsatz als das Hauptproblem der Aufgabenstellung angesehen.

Damit dürfte das Problem erledigt sein. Falls jessyK89 hier überhaupt nochmal vorbeischaut und nochmals nachrechnet.
 
 
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich, hab auch schon 20x alles mögliche durchgerechnet aber ich kapiere es nicht.
Wirklich, partielle Ableitungen, Kurvendiskussionen und alles ist KEIN DING für mich, nur hier hänge ich irgendwie... glaube es liegt einfach daran, weil ich überhaupt keinen Plan habe, wie ich vorgehen soll, habe keine Handlungssicherheit.

Also Roman,
wenn ich das so mache wie du sagst,
ich setze einmal 3000 in die Gleichung ein und dann einmal 3030 (+ 1%), ergeben sich für mich folgende Mengen:

p(3000)=4000-0,1*3000 => 3700

p(3030)=4000-0,1*3030 => 3697

3700 entspr. 100%
3697 entspr. x%

(3697*100) / 3700=~99,92%

und somit ist für mich keine Änderung von 3% erkennbar.


Hilfe bitte.^^

____________________

PS: Mythos, ich habe mir wirklich die Links etc. durchgelesen, Umkehrfunktionen etc. gebildet aber verstehe nur Bahnhof.

z.B. bei:



Weiß ich garnicht, was die Deltas, fs und so weiter jetzt in dem Fall überhaupt bedeutet bzw. was ich dafür einsetzen soll...

Mfg und danke für die Hilfe erstmal.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Hi jessyK89!

Den Ansatz mit Einsetzen der Werte in p(x), wie von Dir beschrieben, hatte ich in meinem ersten Beitrag auch so gemeint und gemacht. Wobei ich x als den Preis und p(x) als die Stückzahl interpretiert hatte.

Ich habe dann leider später erst gemerkt, daß das so nicht zu Deinem gewünschten Antwortsatz führt! Eine Änderung von Preis x um 1% führte nicht zu einer Änderung der Stückzahl p(x) um 3%, sondern um 3 Stück (3700 - 3697).

Später hat mich mYthos darauf hingewiesen, daß mit x nur die Stückzahl gemeint sein könnte und mit p der Preis (p = Preis liegt auch irgenwie nahe).

Ich habe das dann später korrigiert. Und wenn ich jetzt die Werte für die Preise (3000 bzw. 3000 + 1%) einsetze und mit x die Stückzahlen ausrechne, komme ich genau af eine Änderung der Stückzahl um 3%.

Zu den allgemeinen Ausführungen von mYthos kann ich mich nicht äußern. Glaube aber, daß sie für Deine Aufgabenstellung unerheblich sind.

//edit Außerdem ist Dein berechneter Prozentwert von ~99% nicht korrekt. Denn 3 sind von 3700 (3*100)/3700 Prozent!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Roman

Wieder muss ich dich auf die Board-Netiquette verweisen. Es ist NICHT erwünscht, dass du dich - ohne gewichtige Gründe - in einen laufenden Thread einmischt. Im Interesse an einer gedeihlichen Zusammenarbeit bitte ich dich, das zu respektieren.

EDIT: Entschuldigung, ich hatte übersehen, dass du der Erstantwortende warst.
_____________________

@Jessy
Der Fehler ist, dass du falsch eingesetzt hast. Du sollst nur mit den Differenzen -3 bzw. 30 rechnen und diese auf das Zahlenpaar (10000; 3000) beziehen!
Zu p1 = 3000 lautet der zugehörige x-Wert x1 = 10000. Somit ist



Zitat:
Original von jessyK89
...
PS: Mythos, ich habe mir wirklich die Links etc. durchgelesen, Umkehrfunktionen etc. gebildet aber verstehe nur Bahnhof.

z.B. bei:



Weiß ich garnicht, was die Deltas, fs und so weiter jetzt in dem Fall überhaupt bedeutet bzw. was ich dafür einsetzen soll...


Die "Deltas" sind einfach die Differenzen (Änderungswerte)!
Wie schon gesagt, musst du bei der Nachfragefunktion den Kehrwert der Elastizität der PAF verwenden! Wegen des Vorzeichens bei -3 ist ausserdem der Betrag zu nehmen!



mY+
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:
Jetzt mach aber mal halblang!

Wenn Du Dir den Thread genau anschaust, siehst Du, daß ich zuerst an jessyK89 geantwortet hatte. Das meine ursprüngliche Rechnung nicht aufging hatte ich bereits bemerkt, bevor Du mich auf meinen Irrtum mit p und x hingewiesen hattest. Und auch ohne Deine weitschweifigen und allgemeinen Ausführungen ergibt meine vorgeschlagene Rechnung mit den von jessyK89 vorgegebenen einfachen Funktion genau das von ihr gewünschte Ergebnis.

Ich hatte Deine Auslassungen bisher nur als "akademischen" Zusatz gesehen und mich nicht beschwert. Jetzt muß ich Dich leider auffordern, daß Du Dich nicht in einen laufenden Thread einmischst!

Weitere bei Bedarf über pn!

Als nächstes möchte ich mich hier weiter der Aufgabestellerin widmen.
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie kann ich mit den Differenzen -3 (was ja wohl die Ela sein soll) rechnen, wenn ich sie theoretisch im Voraus nicht weiß?
Den Antwortsatz mit den 3% kenne ich ja eigentlich nicht, wusste ihn nur durch die Vorlesung, aber habe nicht verstanden, wie man dort hinkommt.

Also ich habe die Änderung von 3% jetzt auch raus, wenn ich für p(x) einfach die Zahlen einsetze und dann 2x nach x auflöse um mit dem Dreisatz die prozentuale Änderung zu berechnen.

Ich weiß, dass in unserer Klausur nur lineare Geschichten drankommen werden, heißt, dass ich somit vollkommen zufrieden bin.
______________

Auf die proz. Änderung komme ich jetzt, nun ist die Frage:

"Welche Menge und welcher Preis garantieren eine Elastizität von -2 ?"

Ich vermute, dass ich -2 jetzt einfach in eine der Formeln einsetzen muss, nur leider habe ich ja mit Menge und Preis zwei unbekannte, wie stelle ich das dann an?

LG und danke erstmal bis hier hin
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

@jessyK89

Setze also für p 3000 ein und berechne x:

3000 = 4000 - 0,1x

Dann setze für p den um 1% erhöhten Preis ein.
Berechne erneut x.

Und dann vergleiche den alten und den neuen Wert von x.
Du erhältst genau die Werte Deines Antwortsatzes.

//edit Da habensich unsere Beiträge leider überschnitten. Du hast es anscheinend schon korrekt berechnet.
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke bis hier hin.

Hab es jetzt raus, echt hohl, dass ich da nicht so drauf gekommen bis.^^
Das p(x) hat mich einfach verwirrt irgendwie.

Jetzt hab ich hier die nächste Geschichte, vllt. kannst du mir da ja auch helfen?
_____________

Auf die proz. Änderung komme ich jetzt, nun ist die Frage:

"Welche Menge und welcher Preis garantieren eine Elastizität von -2 ?"

Ich vermute, dass ich -2 jetzt einfach in eine der Formeln einsetzen muss, nur leider habe ich ja mit Menge und Preis zwei Unbekannte, wie stelle ich das dann an?
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

@jessyK89

Tut mir leid, da kann ich Dir nicht weiterhelfen. Wie vorher schon erwähnt kenne ich mich it Wirtschaftmathe nicht aus. Ich habe eben nur etwas Prozentrechnung betrieben.

Vielleicht kann Dir da jetzt mYthos weiterhelfen.
Ich klinke mich jetzt hier aus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Roman Oira-Oira
...
Und auch ohne Deine weitschweifigen und allgemeinen Ausführungen ergibt meine vorgeschlagene Rechnung mit den von jessyK89 vorgegebenen einfachen Funktion genau das von ihr gewünschte Ergebnis.
...


Die "weitschweifigen" allgemeinen Ausführungen dürften vielleicht doch nicht so ganz nutzlos sein ... Big Laugh
______________________

Du setzt die Elastizität für die Nachfragefunktion gleich -2.
Die Nachfragefunktion ist die Umkehrfunktion der PAF:

PAF: p(x) = 4000 - 0.1x
NF: Drücke aus obiger Gleichung einfach x in p aus. --> x = x(p)

Die Nachfragefunktion ist also dann eine Funktion in p. Deren Elastizität



setze gleich -2 und berechne daraus p und zum Schluss das zugehörige x.

mY+
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das tu, habe ich Folgendes:

p(x)=4000-0,1x
UMKEHR
x(p)=4000-0,1p

-2=(-0,1 / 4000-0,1p)*p

=>

p ist rechnerisch ~ -4,47 und 4,47.
Da ein negativer Wert ökonomisch jedoch keinen Sinn macht, ist die Antwort 4,47.

Nur ein Preis von 4,47 macht ja auch nicht wirklich Sinn irgendwie.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jessyK89
Wenn ich das tu, habe ich Folgendes:

p(x)=4000-0,1x
UMKEHR
x(p)=4000-0,1p


mYthos ist momentan nicht angemeldet, deshalb versuche ich mal mit meinen jetzt on the fly angeeigneten Kenntnissen weiterzumachen.

Ausgehend von p(x) ist Deine Umkehrfunktion x(p) falsch!

Für p(x) gilt: p = 4000 - 0,1x

Für x(p) mußt Du jetzt x aus p berechnen. Dazu löst Du die vorstehende Gleichung nach x auf.
Also:
p = 4000 - 0,1x
p - 4000 = -0,1x
usw. (bitte selbst zu Ende umformen!)

Damit versuche mal weiterzukommen unter Verwendung der Formeln, die Du von mYthos bekommen hast.

PS: Wenn Du Dich hier im Matheboard registrierst und anmeldest wird es viel bequemer für Dich. Du kannst dann nämlich per eMail automatisch informiert werden, sobald eine neue Antwort für Dich vorliegt. Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, die Antwort hatte ich zwar abgesendet, aber inzwischen war das Netz unterbrochen ...

Die Umkehrfunktion ist falsch berechnet! WIE hast du das gemacht??







mY+
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann werde ich wieder meine bevorzugte Enzyklopädie in die Hand nehmen und mich über Elastizität von Funktionen weiterbilden.
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ich hab eine falsche Umkehrfunktion gebildet.

Also wird die Funktion zu x=40000-10p

=> x'= -10

-2=(-10/40000-10p)*p

=> p=2666,6 periode

=> x=13333,3 periode

Antwortsatz:

Ein Preis von 2666,67€ und eine Menge von ca. 13333 garantieren eine Elastizität von -2.

Wäre das so richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es richtig. smile

mY+
jessyK89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah alles klar, danke erstmal an alle Beteiligten. :P

Mfg
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