Was heißt injektiv?

02.01.2011, 12:16

mogli2

Was heißt injektiv?

Meine Frage:
Hallo mein Lehrer hat mir über die Ferien diese Hausaufgabe gestellt:
Was heißt es wenn eine Funktion injektiv ist?

Meine Ideen:
Ich check überhaupt nicht!

02.01.2011, 12:20

Cel

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Wenn deine Aufgabe nur aus dieser Frage besteht, wäre es nicht gut, wenn wir dir die Antwort einfach so hinwerfen würden. Wo hast du denn schon überall nachgeguckt und was verstehst du an dieser Definition nicht? Hilfe wirst du bei konkreten Fragen bekommen! Wink

02.01.2011, 12:24

Gast11022013

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RE: Was heißt injektiv?
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ heißt injektiv, falls $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2\in A \end{eqnarray*}$ gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

Mit anderen Worten:

Injektivität besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet.

[sinngemäß nach Wikipedia]

Entschuldige, Cel, wenn ich das jetzt doch angegeben habe, aber Definitionen werden in den Vorlesungen auch "einfach so" gegeben, sie dann zu verstehen, ist eine andere Frage.

02.01.2011, 12:57

Mulder

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RE: Was heißt injektiv?
Vielleicht sollte man sich in dem Zusammenhang dann auch einfach mal ein paar Beispiele ansehen, das hilft meistens enorm. Auf Wikipedia findet man zum Beispiel ein paar:

Klick!

Wirf auch ruhig mal einen Blick auf die grafischen Veranschaulichungen etwas weiter oben.

02.01.2011, 13:18

Roman Oira-Oira

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@Dennis2010

Was ist denn eigentlich aus dieser Vorgabe geworden: Definitionen

//edit Sorry, habe den entsprechenden Beitrag von Cel übersehen!

02.01.2011, 13:39

mogli2

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RE: Was heißt injektiv?
hi,

auf Wikipedia steht dass bei einer injektive Funktion höchstens ein Element der Zielmenge getroffen werden darf. Das heißt dass auch ein Element nicht getroffen werden darf. Aber wenn das Element nicht getroffen wird, wieso ist es dann überhaupt da und wird nicht weggelassen?

02.01.2011, 13:55

Math1986

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RE: Was heißt injektiv?

Zitat:

Original von mogli2
Aber wenn das Element nicht getroffen wird, wieso ist es dann überhaupt da und wird nicht weggelassen?

Das ist eine Definitionssache, auch dazu stehen Beispiele in Wikipedia:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_3\colon\mathbb N \to\mathbb N,\, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist injektiv.
$\begin{eqnarray*} f_4\colon\mathbb Z \to\mathbb Z,\, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv, da z.B. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ auf denselben Wert abgebildet werden.

Du kannst also aus jeder nicht-injektiven Funktion durch Einschränkung der Zielmenge eine injektive Funktion konstruieren, und umgekehrt.

Nur ist dir der Zielbereich vorgegeben, den kannst du nicht beliebig wählen

05.01.2011, 23:16

Roman Oira-Oira

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RE: Was heißt injektiv?

Zitat:

Original von mogli2
hi,

auf Wikipedia steht dass bei einer injektive Funktion höchstens ein Element der Zielmenge getroffen werden darf.

Ich komme zwar etwas spät, aber ein Zusatz sei mir bitte noch erlaubt.

So, wie Du es oben zitierst, steht es ganz bestimmt nicht in Wiki!
Dort steht vielmehr:

"[Injektivität] Sie besagt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird." Es darf also nicht zwei (mehrere) Werte $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ aus der Definitionsmenge geben, die auf ein und denselben Funktionswert in der Zielmenge abgebildet werden.

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