Lineare Unabhängigkeit und Invertierbarkeit

02.01.2011, 15:42	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit und Invertierbarkeit Meine Frage: hallo liebes forum ich sitze grad an folgender aufgabe und komme überhaupt nich klar Aufg: Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n. Seien weiter v1............vr linear unabhängig und $\begin{eqnarray} A \in Mat_{K}(r,r) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{j} := \sum\limits_{i=1}^r a_{ij} v_{i} \end{eqnarray}$ mit j = 1........r zeige folgende äquivalenz (i) w1.....wr lin. unabh. (ii) A ist invertierbar Meine Ideen: ich weis das A eine quadratische Matrix ist und wie ein äquivalenzbeweis funktioniert weis ich auch. aber mir ist i-wie nich gnaz klar was mir die summenformel mitteilen soll. bitte schnelle hilfeeeeeeeeeee
02.01.2011, 16:43	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weis i-wie nich in welchem zusammenhang hier w mit der matrix steht und was soll hier v sein ?? ich geh mal davon aus das a die matrixelemente sein sollen ich weis i-wie nich was die lineare unabhängigkeit mit der Matrix zu tun hat kann mir da vielleicht einer auf die sprünge helfen ??
02.01.2011, 17:30	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn vi und wi zeilenvektoren sein sollen dann könnte man ja vllt so argumentieren wenn ich vi mit einem skalar multipliziere, dann bleiben sie trotzdem linear unabhängig also sind w1....wr auch linear un abhängig und man weis ja wenn eine matrix invertierbar is dann müssen die zeilenvektoren lin. unabh. sein, so hätte man dann schonmal eine richtig, aber kann man das so machen ??
02.01.2011, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die w sind die Bilder der v unter der zur Matrix A gehörigen Abbildung.
02.01.2011, 19:54	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ?? das leuchtet mir jez noch nich ganz ein ich dachte v sind vektoren die mit einem skalar (element aus A) multipliziert werden und das ergibt dann w is das jez falsch ??
02.01.2011, 20:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich einfach mal so getippt. $\begin{eqnarray} U=<v_1,...,v_r> \end{eqnarray}$ wird erzeugt von der Basis $\begin{eqnarray} \{v_j\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kann ich als Matrix eines Basiswechsel genau dann auffassen, wenn die Matrix regulär ist, und $\begin{eqnarray} w_j=... \end{eqnarray}$ beschreibt dann die Abbildung dieses Basiswechsels. (Diese Argumentation bzw. Anschauung ist doch wunderbar verträglich mit dem, was zu beweisen ist.)
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02.01.2011, 20:11	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
aso ich dachte du meinst jez sowas F(v) = w wobei F ne abbilgung sein soll
02.01.2011, 20:16	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
oki ich versteh jez was du mir gesagt hast aber wie kannich das für den beweis anwenden ??
03.01.2011, 13:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (i) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (ii) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (iii) \end{eqnarray}$ Spaltenvektoren von $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})_{r\times r} \end{eqnarray}$ sind l.u.

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