Abbildungsmatrix

02.01.2011, 21:28

emotioncatcher

Abbildungsmatrix

Meine Frage:
gegeben ist die lineare abbildung f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} --> \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ x_1-x_2 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ , bezüglich welcher f durch die Matrix A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellt wird, d.h. f(x)=A*x für x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
nun würde man ja die abbildungsmatrix bezüglich der standardbasis folgendermaßen bestimmen:
f(1,0)=(1,1,0) und f(0,1)=(1,-1,1), damit ist die abb.matrix : B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun die abbildungmatrix vorgeben habe, müsste ich ja folgende gleichungen lösen: f(a_1,a_2)=(1,1,1) und f(b_1,b_2)=(1,2,3)
schon bei der ersten stoß ich allerdings auf einen widerspruch:
man hat ja die ein gleichungssystem mit drei zeilen durch rückwärtslösen erhalte ich a_2=1 und a_1=2 aus der 2.und 3. zeile. setze ich das jedoch in die erste ein, erhalte ich 1+2=1 ... was ja mit sicherheit so nicht stimmt
was habe ich falsch gemacht?

03.01.2011, 00:52

Reksilat

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RE: Abbildungsmatrix
Hi emotioncatcher,

Zitat:

wenn ich nun die abbildungmatrix vorgeben habe, müsste ich ja folgende gleichungen lösen: f(a_1,a_2)=(1,1,1) und f(b_1,b_2)=(1,2,3)

Das stimmt so nicht, denn es ist ja auch noch nach einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ gefragt.

Letztlich ist die Aufgabe nicht lösbar, denn für jede beliebige Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ lässt sich eine passende Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ finden, so dass die Abbildung die gegebene Matrixgestalt hat.

Gruß,
Reksilat.

11.01.2011, 08:45

emotioncatcher

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RE: Abbildungsmatrix
danke für die antowort. leider komm ich damit nicht so wirklich weiter...
ich weiß nicht wie ich das mit der basis der R^3 machen soll. fällt dann einfach die dritte zeile weg? in f kann ich ja nur zwei variablen einsetzen.
lg

11.01.2011, 12:09

Reksilat

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RE: Abbildungsmatrix
Ich habe die Aufgabe vielleicht auch etwas falsch interpretiert. Es ist natürlich möglich, solche Basen anzugeben, nur eben nicht mal ansatzweise eindeutig.

Lege Die einfach willkürlich(!) eine Basis $\begin{eqnarray*} \{x_1,x_2\} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ fest, berechne die Bilder $\begin{eqnarray*} v_i:=f(x_i) \end{eqnarray*}$ und suche dann eine Basis $\begin{eqnarray*} \{y_1,y_2,y_3\} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} v_1=y_1+y_2 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} v_2=y_1-y_2+y_3 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser beiden Matrizen die geforderte Form.

Gruß,
Reksilat.

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