Rotationsvolumen, Guldinsche Regel

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DonutMonkey Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen, Guldinsche Regel
Meine Frage:
Hallo erst mal smile

Ich habe zu Dienstag ein Referat fertig zu stellen, nur habe ich den Zeitaufwand und Schwierigkeitsgrad leider total unterschätzt...

Die erste Aufgabe lautet:
Formuliere und veranschauliche die Guldinsche Regel - Gesagt getan, habe mich informiert und die Regel samt Formel aufgeschrieben.
Nun wollte ich die Regel erklären und bin eben darauf gestoßen, dass man den Schwerpunkt errechnen muss.
Ich habe auch schon einige Formeln dafür im Internet gefunden, die ich trotz meines Mathematischen Unwissens evtl. benutzen könnte. (Wobei ich sie auch nicht wirklich verstehe :S)

Das eigentliche Problem vor dem ich nun gerade stehe ist folgendes:
Die Aufgabe 2 lautet:
Wende die Regel auf die Volumenbestimmung von Körpern an, die bei der Rotation um die x-Achse entstehen:
a) Um die x-Achse rotiert ein Rechteck.
b) Um die x-Achse rotiert ein Kreis - es entsteht ein Torus
c) Bestätige beide Ergebnisse mit Hilfe der Integralrechnung.
(Rotationsformel = keine Herleitung der Formel)
Unschwer zu erkennen ist, dass es bei keiner der Aufgaben irgendwelche Zahlen angegeben sind, was mich etwas stutzig macht, da doch die Guldinsche Regel quasi eine Formel zum errechnen des Rotationsvolumens ist.
Gibt es für diese Art von Geometrischen Formen irgendwelche festgesetzten Werte?
Ich habe leider Tatsächlich nichts wirklich aufschlussreiches im Internet zum Thema gefunden und im Mathebuch ist auch nich wirklich was zu finden :S

Von den Aufgaben 3 (y-Achsen Rotation) und 4 (herleitung) will ich erst gar nicht anfangen, zumal ich dazu auch erst mal die Regel richtig verstehen müsste :S

Ich hoffe jemand kann etwas Licht ins dunkle bringen, ich stehe total auf'm Schlauch xD

Ich bedanke mich schon mal bei allen, die sich durch das Chaos durchgelesen haben smile

LG


Meine Ideen:
Ein Bild ist im Anhang, leider hab ich nicht mehr geschafft den ganzen Tag lang, da ich's wie beschrieben auch einfach nicht richtig verstehe... :S
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen ist es in der Tat nicht einfach, den Schwerpunkt einer Fläche zu ermitteln. In den Fällen jedoch, die du behandeln sollst, ist der Schwerpunkt offensichtlich. Du darfst ihn dir vorstellen als denjenigen Punkt, in dem man die Figur stützen muß, damit sie nicht kippt.

a) Wo hat ein Rechteck seinen Schwerpunkt?
b) Wo hat ein Kreis seinen Schwerpunkt?

Und natürlich hast du keine Zahlen, du sollst schließlich Formeln entwickeln und nicht zeigen, daß du flink in den Taschenrechner eintippen kannst.

Als Hilfe zunächst a). Du denkst dir ein achsenparalleles Rechteck im I. Quadranten des Koordinatensystems, zunächst so, daß eine der Seiten auf der -Achse liegt. Diese Seite möge die Länge besitzen, die andere Länge sei . Vielleicht überlegst du dir schon einmal, warum ich gerade diese Bezeichnungen und keine anderen gewählt habe. Denn welcher Körper entsteht, wenn das Rechteck um die -Achse rotiert? Und wie lang ist der Weg, den dabei der Schwerpunkt des Rechtecks zurücklegt?
Jetzt kannst du die Guldinsche Regel anwenden und hast sofort die Volumenformel für ...
Und wenn du das hast, kannst du den Fall behandeln, wo die untere Rechtecksseite oberhalb der -Achse liegt. Was entsteht bei der Rotation des Rechtecks um die -Achse jetzt für ein Körper? Welches Volumen besitzt er in Abhängigkeit von den Größen, die das Rechteck und seine Lage im Koordinatensystem bestimmen?

Bei b) denkst du dir einen Kreis vom Radius mit dem Mittelpunkt , der ganz oberhalb der -Achse liegt. Es gilt also . Und die Anwendung der Guldinschen Regel liefert dir sofort das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers. Wie er heißt, weißt du ja schon. Kannst du ihn dir auch vorstellen?
DonutMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal für die Hilfe Freude

Also ein Rechteck sollte seinen Schwerpunkt, wie ein Kreis ja genau in der Mitte der Form haben.

Welche Form entsteht kann ich mir denken, beim Rechteck wäre es ein Zylinder mit dem Radius = die nicht auf der Rotationsachse anliegende Seite (sprich )
Höhe des Zylinders ist ja gleich die Seite des Rechtecks auf der x-Achse liegenden Seite .
Dass bei der Kreisrotation ein Torus entsteht, stand auf dem Zettel. Ebenso, dass dieser aussehen soll wie ein Schwimmring ^^
Also zu
a)
- Ausgangsformel

ist ja der Abstand des Schwerpunktes von der Rotationsachse, sprich
Gehe ich denn richtig in der Annahme, dass das die Formel für das Rechteck ist?
b)
- Ausgangsformel
- Rotationsvolumen für Torus
Kannst du hier zustimmen?

btw. Welchen Praktischen Nutzen hat diese Rotationsvolumen Sache eigentlich?

Zu c)
Um die "Ergebnisse" zu beweisen, muss ich die Partielle Integration nutzen, richtig?

/edit
Was ist ? :S
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

a) stimmt, kann aber noch zusammengefaßt werden. Du erhältst so eine bekannte Formel (Formelsammlung).

b) beginnt gut, stimmt aber an einer entscheidenden Stelle nicht. Und zwar, weil du nicht zwischen und unterscheidest. Mache dir eine sorgfältige Skizze, wie ich das zuvor erläutert habe.
Und natürlich mußt du auch da die Formel noch vereinfachen.

Und der praktische Nutzen? Jetzt kannst du mit Hilfe der Dichte von Salamiwurst und den Maßen der Ringsalami ohne Waage ihr Gewicht bestimmen. Ist das nicht toll?

Um die Ergebnisse mit der Integralrechnung zu beweisen, mußt du die entsprechenden Funktionen aufstellen und in die Formel einsetzen, die du selbst angegeben hast. Beim Rechteck ist das simpel, beim Kreis ein bißchen komplizierter.
DonutMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe heute nicht vortragen müssen und so würde ich doch gerne die Zeit nochmal nutzen die letzten Probleme zu lösen:

Habe 2 a) und b)
geschafft und bin auch auf die bekannte Formel gekommen (gleiche wie in Wikipedie)

Jetzt habe ich aber eine Frage zu c)
Hier soll ich ja wie gesagt mit der Formel:

Beweisen, doch was soll ich hier für die Interwall Grenzen und für f(x) einsetzen?

Beim Rechteck habe ich
eingesetzt (5 als Konstante ist ja anscheinend irgendwie auch ne Funktion... verwirrt - jedenfalls bin ich darauf durch Wikipedia gekommen)

Beim Kreis wiederum habe ich nicht einen blassen Schimmer, was hier in die Formel einzusetzen ist :S

zu Aufgabe 3:
Hier sollte halt eine Parabel um die y Achse rotieren um eine Art Napfkuchenform zu bilden. Und darauf soll ich die Guldinsche Regel anwenden

Den Flächeninhalt habe ich mit Hilfe von und eines Integral Rechners heraus bekommen (~ 67,0206), allerdings verstehe ich überhaupt nicht, wie ich nun den Schwerpunkt der Parabelfläche heraus Finden soll :S

Die Funktion habe ich übrigens mit hilfe von Geogebra selbst aufgestellt, da ich mir ohne Werte noch weniger damit anfangen konnte...

3b) hier ist wieder eine Formel: gegeben mit der ich das Ergebnis überprüfen soll. Hier werde ich dann für die Integral Grenzen die Nullstellen auf der x-Achse angeben und einfach die Funktion der Parabel als f(x) einsetzen, richtig?

Bei Aufgabe 4 soll ich die eben genannte Formel aus 3b herleiten.
Als Hinweis ist die Schalenmethode genannt, allerdings finde ich im Internet nichts verständliches über diese Methode unglücklich

Nochmal danke für deine Hilfe, Leopold smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zylinder:

Warum rechnest du mit in den Grenzen von bis ? Rechne doch gleich mit in den Grenzen von bis . Das ist auch nicht schwerer und liefert dir gleich die allgemeine Volumenformel.



Torus:

Vielleicht kommst du damit klar, wenn du überall statt und statt schreibst. Laß dich nicht irritieren von den mehrdimensionalen Integralen im Link. Du kannst deine einfache Volumenformel für Rotationskörper verwenden.



Schüssel:

Deine Funktion sieht ja nun gar nicht wie eine Schüssel aus. Warum nimmst du nicht die angegebene Funktion ?
Aber sollst du wirklich den Schwerpunkt der Schüsselrotationsfläche berechnen? Sollst du nicht vielmehr die Guldinsche Regel daran veranschaulichen?



Schwerpunkt (falls gefordert):

Wenn im Intervall nur positive Werte annimmt, dann kann man die Koordinaten und des Schwerpunktes der Fläche zwischen -Achse und Funktionsgraph mit den Formeln



errechnen. ist dabei der Flächeninhalt der Fläche, also



Wenn du die Formel für geeignet umformst, dann kannst du darin sogar die Guldinsche Regel wiedererkennen.
 
 
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