Gruppen, Untergruppen usw.

03.01.2011, 13:05

empty21

Gruppen, Untergruppen usw.

Hi!

Ich versuch grad mir das Thema Gruppen etwas näher zu bringen. Ich bin dabei auf folgendes Beispiel gestoßen:

"Man bestimme alle Untergruppen der Gruppe S3 aller Permutationen von drei Elementen mit der Operation der Hintereinanderausführung."

Da ich mich mit dieser Thematik noch nicht so sehr beschäftigt habe, habe ich nun einige Fragen zur Lösung eines solchen Beispieles.

Wie ich herausgefunden habe, bedeutet S3 ja eine symmetrische Gruppe mit 3 Elementen. Also S = {1,2,3}. Jetzt brauch ich alle Untergruppen. Meine Frage ist nun wie ich drauf komm? Also ich weiß zumindest mal das man Gruppentafeln machen kann so etwas in der Art:

x 1 2 3
1 2 3 1
2 3 1 2
3 1 2 3

Das heißt es gibt schonmal diese 3 Untergruppen, also {2,3,1}, {3,1,2} und {1,2,3}. Und weiter?! Ich kenn mich da irgendwie nichtmehr aus, bitte helft mir, dass ich diese ganze Thematik ein wenig besser versteh und auf die Lösung solcher Beispiele komm :-)

Danke schonmal im Voraus!
Lg Oli

03.01.2011, 13:10

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die S3 ist die symmetrische Gruppe einer Menge von 3 Elementen. Eine "symmetrische Gruppe von M" ist die Gruppe der Permutationen der Menge M. Hat M n Elemente, so hat Sn n! Elemente.

Deine Tafel ist nicht die Gruppentafel der S3, es ist nicht einmal eine Gruppentafel. unglücklich

In einer Gruppentafel stehen nicht die Untergruppen einer Gruppe. unglücklich

03.01.2011, 13:38

empty21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm okay

Könntest mir das vielleicht ein bissl genauer erklären? Hab mir schon unzählige Dinge im Internet durchgelesen, werd daraus aber nicht wirklich schlau :/

03.01.2011, 14:33

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich machen, dauert aber zu lange. Augenzwinkern

Gruppen kann man nicht "erklären", Gruppen muss man "studieren", das ist ein wesentlicher Teil der Algebra. Dazu musst du an einer Universität Mathematik studieren und während deines Studiums geeignete Algebra-Vorlesungen hören. Wenn du schon Mathematik studiert hast und dabei Algebra versäumt hast, empfehle ich "Siegfried Bosch, Algebra, Springer Verlag". Speziell für Gruppentheorie empfehle ich "Kurzweil, Stellmacher , Theorie der endlichen Gruppen, Springer Verlag". Mit beiden Büchern bist du mindestens drei Jahre lang gut beschäftigt und hinterher schlauer als vorher.

03.01.2011, 15:10

empty21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe ich versteh schon. Ich studier Informatik wobei hier die Mathematik eher ein lästiges "Mitbringsel" ist Big Laugh

Ich hab auch ein, von unseren Dozenten bzw. Tutoren, empfholenes Buch. Dort werden Gruppen bzw. solche Strukturen auf 7 Seiten beschrieben. Nur kann ich damit leider nich viel anfangen. Mit dem restlichen Mathestoff hab ich mir eigentlich nicht sonderlich schwer getan, aber diese Gruppen machen mir doch irgendwie zu schaffen *g*

Naja ich danke dir trotzdem für deine Hilfe smile

03.01.2011, 17:46

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Dazu musst du an einer Universität Mathematik studieren und während deines Studiums geeignete Algebra-Vorlesungen hören.

Da bin ich dagegen. Ich kenne genug Leute, die ihre ersten mathematischen Schritte fernab der Universität etwa mit dem Bosch gemacht haben. Es ist natürlich schwerer, als mit den vielen Kontrollinstanzen der Universität, aber es ist möglich so ein grundlegendes Thema wie die Anfänge der Gruppentheorie selbst zu studieren.

Ansonsten bin ich auf Elvis' Seite. Algebra (wie jedes Teilgebiet der Mahtematik) muss man ordentlich betreiben, sonst versteht man nix und Gruppen gehören zur Algebra.

Allerdings habe ich in meinen Informatikvorlesungen die Erfahrung gemacht, dass man am Anfang eines Abschnittes immer mit haufenweise Formalismus beworfen wird, denn man dann bei den Anwendungen eigentlich in der Form gar nicht gebraucht hätte.

Deswegen ist vielleicht zu überdenken, ob fundierte Kenntnisse (so mächtig sie auch sein mögen) wirklich den Aufwand lohnen.

20.03.2011, 19:23

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein Versuch einer Einführung in die Gruppentheorie der Symmetrischen Gruppen..
Dann eine Frage meinerseits..^^

Zur Gruppentheorie würde ich dir eher Karpfinger empfehlen... kannst dir das auch in den meisten Unis auf Springerlink kapitelweise runterladen.

Zur symmetrischen Gruppe und der Gruppentafel..
Du kannst Elemente einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge schreiben.. bzw. anordnen.. siehe 7 Bücher im Regal, wie kannst du sie dort rein stellen? es gibt 7! Möglichkeiten.. und genau das kannst du als Permutationen oder Transpositionen ausdrücken.. wobei Transpositionen Nachbarschaftvertauschungen sind.. Permutationen bestehen aus mehreren Nachbarschaftsvertauschungen.

Die Symmetrische Gruppe besteht gerade aus den Permutationen, die auf einer Menge "gewirkt" werden können.. Da Mengen mit einer Verknüpfung (unter Berücksichtigung der Gruppenaktiome) eine Gruppe bilden, sagt man auch häufig: Permutationen einer Gruppe. Ist diese Gruppe nicht endlich, so schreibt man S(G) wobei G die Gruppe ist. Ist sie endlich mit |G|=n (Kardinalität, Mächtigkeit, Anzahl aller Elemente gleich n) so schreibt man auch $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .

Nun hast du ersteinmal gesehen, aus welchen Elementen die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ besteht. Damit die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ nun noch eine Gruppe bildet, muss man eine Verknüpfung darauf definieren.. diese wird auch (wenn man zurück an die lineare ALgebra denkt) als Komposition bezeichnet. Eine Hintereinanderausführung von Abbildungen.. Wobei die Elemente der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die Abbildungsvorschriften sind.

Für die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ gilt also (da sie die Anzahl der möglichen Vertauschungen enthält) dass $\begin{eqnarray*} \left| S_n \right|=n! \end{eqnarray*}$ (n Fakultät)

Zu den Elementen:
Die Elemente werden häufig als sogenannte Zykel geschrieben, die in der Reihenfolge von rechts nach links und innerhalb von links nach rechts gelesen werden...man kann sich das also so vorstellen.. Wenn du eine Matrix erstellst, dann schreibst du die zu betrachtenden Elemente in die erste Zeile, darunter auf welche Position sie abgebildet ("verschoben") werden (das ist die einfache Darstellung, die aber viel Platz verbraucht.. Im Vergleich die Zykelschreibweise: )

d.h. $\begin{eqnarray*} (123)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

"1 geht auf 2, 2 geht auf 3, 3 geht auf 1"

Hast du nun mehrere Zykel so schreibst du:
$\begin{eqnarray*} (1234)(1234)=(13)(24)\\ (1234)(1234)(1234)=(1234)(13)(24)=(14)(12)(32)=(1432)\\ (1234)^4=(1234)(1432)=(1234)(4321)=(1234)(1234)^{-1} \end{eqnarray*}$
(nachdem man ein paar Rechenregeln angewendet hat erhält man das dann.. Die Rechenregeln kann man dort im oben genannten Buch nachlesen S. 106-107)

Nun hast du auch die Zykelform kennen gelernt und wir gehen mal auf ein paar Gruppenbeispiele ein:

Beispiel: Siehe die $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ :
Die Abbildungen sind hier:
$\begin{eqnarray*} id:\begin{cases} (12)\to (12)\\ 1\mapsto 1\\ 2\mapsto 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (12):\begin{cases} (12)\to(12)\\ 1\mapsto 2\\ 2\mapsto 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Man weiß $\begin{eqnarray*} |S_2|=2!=2 \end{eqnarray*}$ also, da man die beiden obigen Abbildungen kennt und sieht, dass (12)=(21) - $\begin{eqnarray*} S_2=\{id,(12)\} \end{eqnarray*}$

Dazu die Gruppentafel:
Sinn der Gruppentafel ist es die Interaktion aller Elemente einer Gruppe untereinander zu sehen und zu zeigen, dass eine Gruppe abgeschlossen ist. Bzw. wie in Sudoku alle Elemente zu finden (Man nennt die Gruppentafel-erstellung auch u.a. Sudoku für Mathematiker ;-) )

Für die $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|cc} <br /> $\circ$ & id & (12) \\<br /> \hline id & id & (12) \\<br /> (12) & (12) & id<br /> \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Mit den Gruppenaktiomen ist diese Tafel schnell erklärt - Inverse Elemente.. alle sind zu sich selbst invers! (gilt generell bei Zykel der Länge 2 (zweielementige Zykel))

$\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$
Bei dieser Gruppe ist die Findung der Elemente ein wenig schwerer, man weiß jedoch, dass $\begin{eqnarray*} |S_3|=3!=6 \end{eqnarray*}$
Ich greife mal etwas vor: $\begin{eqnarray*} S_3=\{id,(12),(13),(23),(123),(132)\} \end{eqnarray*}$
Die Gruppentafel kannste hier z.B. sehen.. du musst dir jedoch immer vorher definieren (oder eine allgemein gültige Konvention benutzen) wenn du zwei zykel f ung g hintereinander ausführst, ob du

f ° g = "erst g, dann f" oder "erst f, dann g"

idR ist die Konvention "erst g, dann f" also von rechts nach links. um Zweifel auszuräumen, gebe das immer vorher an, außer es wurde im Zusammenhang vorher definiert.. ;-)

Bei dem Link zur Gruppentafel ist die erste Zeile g und die erste Spalte f, und er definiert f ° g als "erst g, dann f".

Meine Frage
Bis hierhin bilde ich mir ein dieses Thema verstanden zu haben :>
Aber meine Frage ist nun bei der Gruppentafel der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , wenn ich (123)(13) berechne bekomme ich (12) als ergebnis. und bei (123)(23)=(12)...da es in einer Zeile steht ists aber direkt im Widerspruch (und verglichen mit den Gruppentafeln auch falsch..)

generell habe ich Probleme Zykel unterschiedlicher Längen abzulesen.. gibts da irgendwie eine Regel die man befolgen kann, einen lese Trick..oder oder oder?

mal ein Beispiel: (123)(13)=(13)(23)(32)
Kommentierung: erster Zykel: ich starte ich, indem ich einfach mal gucke, wohin die 1 abgebildet wird.. also lese ich zu erst "1 geht auf 3" (nutze den rechten zykel) dann "3 geht auf 1" (linker zykel) also "1 geht auf 3 geht auf 1" =(13)
danach nehme ich die Zahl, die noch nicht vorkam, die 2.. da lese ich dann wohin die 2 abgebildet wird... "2 geht auf 3" also (23), da dies jedoch kein Zykel ist (2 wird nicht wieder auf 2 abgebildet, nehme ich zusätzlich die 3 also) "3 geht auf 1, 1 geht auf 2" (32).. so sind meine drei Zykel entstanden... ich weiß, dass das falsch sein muss, erkenne jedoch den Fehler nicht.

Kann mir da jemand helfen? =)
Vielen Dank schonmal!

Neue Frage »

Antworten »

Gruppen, Untergruppen usw.

Verwandte Themen