Satanische Zahlen

03.01.2011, 14:19

Gast11022013

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Satanische Zahlen

Meine Frage:
Eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ heiße satanisch, wenn irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei benachbarte Ziffern gleich 6 sind (also die Folge 666 vorkommt).

Zeigen Sie: Fast alle Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ sind satanisch.
[Fast alle bedeutet hier: $\begin{eqnarray*} m([0,1]\backslash S)=0 \end{eqnarray*}$ , wobei S die Menge aller satanischen Zahlen in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ bezeichne.]

Meine Ideen:
Ich habe leider gar keine Ansätze, ich habe dieser Aufgabe nur entnommen, dass man zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} [0,1]\backslash S \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist.

Könnte mir jemand einen Hinweis geben, wie ich überhaupt anfangen kann?

03.01.2011, 19:03

pseudo-nym

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Stelle S dar als
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \mathbb N} S_n \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} S_n = \left\lbrace x \in \lbrack 0 , 1 \rbrack \left| x = \sum_{i = 1}^{n-1}( x_i 10^{-i}) + 6 \cdot 10^{-n} + 6 \cdot 10^{-n+1} + 6 \cdot 10^{-n+2} + \sum_{i = n+3}^\infty( x_i 10^{-i}), \forall x_i : x_i \in \mathbb N \right. \right\rbrace \end{eqnarray*}$

Versuche jetzt S in disjunkte Teile zu zerlegen um die Zerlegung leichter messen zu können.

03.01.2011, 19:43

Gast11022013

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Das soll noch keine Idee sein, wie man S in disjunkte Teile zerlegen kann. Ich muss erstmal ein Beispiel sehen: $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ :

Wenn ich Dich richtig verstanden habe, so sollen an der dritten, vierten und fünften Nachkommastelle jeweils 6en stehen, sonst irgendeine andere natürliche Zahl (Du hast dabei nicht ausgeschlossen, dass dort auch Sechsen stehen, korrekt?)

$\begin{eqnarray*} S_3=0.x_ix_i666x_ix_ix_ix_i... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_4=0.x_ix_ix_i666x_ix_ix_i... \end{eqnarray*}$

Habe ich das bis hier korrekt aufgefasst?

So, wie könnte man das nun disjunkt zerlegen...
Darüber muss ich noch etwas nachdenken.

03.01.2011, 20:01

pseudo-nym

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Fast. Die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind im Allgemeinen verschieden und die beiden Gleichheitszeichen falsch, denn links steht eine menge von Zahlen rechts eine Zahl.

$\begin{eqnarray*} 0.x_1 x_2 666 x_6 x_7 x_8 \ldots \in S_3 \end{eqnarray*}$

03.01.2011, 20:08

Gast11022013

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Stimmt, danke!

Und Du meinst nun, man müsse $\begin{eqnarray*} S=\bigcup S_n \end{eqnarray*}$ disjunkt zerlegen.

Das bedeutet doch, dass paarweise gilt: $\begin{eqnarray*} S_n \cap S_{n+1}=\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich jetzt z.B. wieder $\begin{eqnarray*} S_3, S_4 \end{eqnarray*}$ nehme:

Ich frage mich, ob der Schnitt dieser beiden Mengen bereits leer ist.

03.01.2011, 20:21

pseudo-nym

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Betrachte $\begin{eqnarray*} \frac 23 \end{eqnarray*}$

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03.01.2011, 20:26

Gast11022013

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Okay, damit ist die Frage mit NEIN beantwortet.

Kannst Du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man so eine disjunkte Zerlegung von S vornehmen könnte?...

03.01.2011, 20:41

pseudo-nym

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Eine belieige abzählbaren Vereinigung disjunkt zu machen ist ein Standardverfahren in der Maßtheorie. Schau mal in deine Unterlagen.

03.01.2011, 20:46

René Gruber

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An sich genügt schon die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}} S_n \supseteq \bigcup\limits_{k=1}^m S_{3k-2} \end{eqnarray*}$ ,

(d.h. man kümmert sich nur um jedes dritte der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ) um über

$\begin{eqnarray*} \mu\left( \left( \bigcup\limits_{k=1}^m S_{3k-2} \right)^c \right) = \mu\left( \bigcap\limits_{k=1}^m S_{3k-2}^c \right) \end{eqnarray*}$

schnell zu einer ausreichenden Abschätzung für $\begin{eqnarray*} \mu(S^c) = \mu([0,1]\setminus S) \end{eqnarray*}$ zu kommen.

03.01.2011, 20:52

Gast11022013

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Vielen Dank, René!

Das hilft sehr viel weiter!

Trotzdem würde mich interessieren, welches Standardverfahren pseudo-nym meinte, denn ich finde dazu in meinen Unterlagen nichts.

03.01.2011, 21:04

pseudo-nym

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Bilde die Folge von Mengen $\begin{eqnarray*} (T_n)_n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} T_n = S_n \backslash \bigcup_{i = 1}^{n-1} S_i \end{eqnarray*}$

Meist benutzt man ein solches Vorgehen um Stetigkeit von unten eines sigma-additiven Inhalts zu zeigen.

03.01.2011, 21:16

Gast11022013

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Okay, vielen vielen Dank!

Mit diesen ganzen Informationen versuche ich nun, abzumessen.
Mal schauen, was ich hinbekomme!

03.01.2011, 22:01

Gast11022013

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Also:

$\begin{eqnarray*} S=\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (T_n)_{n\in \mathbb N}, T_n=S_n\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1} S_i \end{eqnarray*}$

Nun fange ich mal an, keine Ahnung, ob das Sinn macht:

$\begin{eqnarray*} S=\bigcup_{n=1}^{\infty} S_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} (S_n\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1}) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob das stimmt.

$\begin{eqnarray*} m(S)=m(\bigcup_{n=1}^{\infty} (S_n\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1}) )\leq \sum_{n=1}^{\infty} m(S_n\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1} S_i)=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

03.01.2011, 22:11

pseudo-nym

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Tipp: Wenn du eine Aussage, die im Widerspruch zur Aufgabenstellung steht gezeigt hast, hast du meistens einen Fehler gemacht.

03.01.2011, 22:14

Gast11022013

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Gibt es auch einen Tipp, der das beseitigt?

Es muss ja rauskommen, dass m(S)=1 ist, oder?...

03.01.2011, 22:29

pseudo-nym

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Am effiktivsten ist es wohl den Tipp von René anzuwenden, also die $\begin{eqnarray*} S_{3k-2} \end{eqnarray*}$ zu betrachten, aus ihnen eine disjunkte Folge von Mengen zu machen und die Folgenglieder zu messen.

04.01.2011, 14:58

Gast11022013

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Okay, ich versuche also, aus den $\begin{eqnarray*} S_{3n-2} \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Folge $\begin{eqnarray*} (T_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ von Mengen zu machen, wie Du es oben vorgeschlagen hast:

Es wäre dann

$\begin{eqnarray*} T_1=S_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2=S_4\backslash S_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_3=S_7\backslash S_1\cup S_4 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} T_n=S_{3n-2}\backslash \bigcup_{i=1}^{n-1}S_{3i-2} \end{eqnarray*}$
.
.
.

Ist das so korrekt? Ich weiß nicht, wie ich jetzt die Folgenglieder abmessen kann.

04.01.2011, 15:04

René Gruber

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Ich hab das Gefühl, du verzettelst dich da. Um in die Spur zurückzukehren: Welche Dezimalbrüche sind denn da in diesem Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{k=1}^m S_{3k-2}^c \end{eqnarray*}$ enthalten? Nun, diese hier:

$\begin{eqnarray*} 0{,}\underbrace{\underbrace{zzz}_{\neq 666} \underbrace{zzz}_{\neq 666} \ldots \underbrace{zzz}_{\neq 666}}_{m-\textrm{mal}} zzzzz \ldots \end{eqnarray*}$

Deren Gesamtheit kann man als disjunkte Vereinigung von genau $\begin{eqnarray*} 999^m \end{eqnarray*}$ Intervallen jeweils der Länge $\begin{eqnarray*} 10^{-3m} \end{eqnarray*}$ auffassen...

04.01.2011, 15:13

Gast11022013

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verwirrt

Zitat:

Deren Gesamtheit kann man als disjunkte Vereinigung von genau $\begin{eqnarray*} 999^m \end{eqnarray*}$ Intervallen jeweils der Länge $\begin{eqnarray*} 10^{-3m} \end{eqnarray*}$ auffassen...

Das heißt.. in dem Durschschnitt liegen alle $\begin{eqnarray*} S_{3k+1} \end{eqnarray*}$ , die gemeinsam haben, dass sie bis zur m-ten Stelle keine 666 stehen haben?

Entschuldige, ich glaube, ich habe das noch nicht begriffen.

04.01.2011, 15:19

René Gruber

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Nein, genau nachdenken:

Es sind alle die Zahlen im Durchschnitt, die an Stelle 1-3 kein 666 haben, gleichzeitig an den Stellen 4-6 kein 666, an den Stellen 7-9 kein 666 usw.

Das schließt nicht aus, dass ggfs. z.B. an den Stellen 3-5 ein 666 stehen kann, aber das macht für die beabsichtigte Abschätzung nichts. Am Ende erweist sich das aus $\begin{eqnarray*} S=\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}} S_n \supseteq \bigcup\limits_{k=1}^m S_{3k-2} \end{eqnarray*}$ folgende

$\begin{eqnarray*} \mu\left( S^c \right) \leq \mu\left( \bigcap\limits_{k=1}^m S_{3k-2}^c \right) \end{eqnarray*}$

als überaus nützlich: Denn den Wert rechts kann man nach den vorgenannten Erläuterungen mühelos berechnen und dann sehen, dass er für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ verschwindet.

04.01.2011, 15:25

Gast11022013

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Eine Frage habe ich dennoch:

Woher kommt denn eigentlich dieses m?

04.01.2011, 15:58

René Gruber

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Das steht doch da: Das ist die zunächst noch offene Anzahl Mengen $\begin{eqnarray*} S_{3k-2}^c \end{eqnarray*}$ , deren Durchschnitt ich betrachte.

04.01.2011, 17:05

Gast11022013

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mu\left( S^c \right) \leq \mu\left( \bigcap\limits_{k=1}^m S_{3k-2}^c \right) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ nicht so wirklich.

Kannst Du mir erklären, wieso das gilt?

04.01.2011, 17:30

René Gruber

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Aus $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \mu(A)\leq \mu(B) \end{eqnarray*}$ für jedes Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , so auch für das hier zu betrachtende Lebesguemaß.

Und genau das wird auf $\begin{eqnarray*} S \supseteq \bigcup\limits_{k=1}^m S_{3k-2} \end{eqnarray*}$ bzw. das daraus folgende $\begin{eqnarray*} S^c \subseteq \left( \bigcup\limits_{k=1}^m S_{3k-2}\right)^c = \bigcap\limits_{k=1}^m S_{3k-2}^c \end{eqnarray*}$ angewandt.

Über solche kleineren Zwischenschritte darfst du gern auch mal selbst nachdenken, bevor du fragst.

04.01.2011, 17:32

Gast11022013

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Das habe ich gemacht, ohne Erfolg.
Danke!!

04.01.2011, 17:46

Gast11022013

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Zitat:

Deren Gesamtheit kann man als disjunkte Vereinigung von genau $\begin{eqnarray*} 999^m \end{eqnarray*}$ Intervallen jeweils der Länge $\begin{eqnarray*} 10^{-3m} \end{eqnarray*}$ auffassen...

Darf ich Dich noch fragen, wie Du auf $\begin{eqnarray*} 999^m \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 10^{-3m} \end{eqnarray*}$ kommst?

Ich weiß, es erweckt den Eindruck, als würde ich selbst darüber nicht nachdenken, das ist aber nicht so. unglücklich

unglücklich

Hat es etwas damit zun tun, dass unter 10^3 Möglichkeiten, genau 1 von 1000 die Anordnung 666 ist und die restlichen 999 Anordnungen?

Und wegen 10^{-3m}... wenn ich zum Beispiel m=2 wähle, so bilde ich ja den Durchschnitt von 2 Teilmengen von S. Also 10^{-6}, aber was bedeutet das?

04.01.2011, 18:15

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Hat es etwas damit zun tun, dass unter 10^3 Möglichkeiten, genau 1 von 1000 die Anordnung 666 ist und die restlichen 999 Anordnungen?

Ja, denn es gibt genau 1000-1=999 Dreierfolgen von Ziffern, die der Bedingung $\begin{eqnarray*} \neq 666 \end{eqnarray*}$ genügen, und das passiert in der Zahl

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} 0{,}\underbrace{\underbrace{zzz}_{\neq 666} \underbrace{zzz}_{\neq 666} \ldots \underbrace{zzz}_{\neq 666}}_{m-\textrm{mal}} zzzzz \ldots \end{eqnarray*}$

genau $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -mal. Und die Grundeinheit der letzten der $\begin{eqnarray*} 3m \end{eqnarray*}$ Ziffern im "geschweiften" Bereich ist nun mal $\begin{eqnarray*} 10^{-3m} \end{eqnarray*}$ .

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