Beweis einer Reihe

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21.11.2006, 18:04

SilverBullet

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Beweis einer Reihe

Nabend zusammen Big Laugh

Hab hier noch ne Aufgabe die ich einfach nicht lösen konnte. Wäre klasse wenn ihr mir dabei helft.

Zitat:

Aufgabe :
Zeigen Sie für reelles x mit |x|<1 :

$\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr)^2 = \sum_{n=0}^\infty~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

Wobei die Reihe auf der rechten Seite absolut konvergiert.

Tjo also nen richtigen Ansatz gibt es leider nicht.
Hab erstmal nur probiert die linke Seite als Summe auszudrücken.

$\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr)\Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr) = \sum_{k=0}^\infty~x^k \sum_{k=0}^\infty~x^k \end{eqnarray*}$

Weiter hab ich es nicht hinbekommen ? Kann jmd helfen ?

mfg
Silver

21.11.2006, 18:10

Dual Space

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RE: Beweis einer Reihe
Denk mal an die geometrische Reihe. Augenzwinkern

Edit: Achso ... hab deinen Ansatz fehlinterpretiert. Forum Kloppe

21.11.2006, 18:11

Lazarus

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Interpretiere doch das da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ mal als Geometrische Reihe.

21.11.2006, 18:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr)\Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr) = \sum_{k=0}^\infty~x^k \sum_{k=0}^\infty~x^k \end{eqnarray*}$

Was Lazarus meint, weiß ich nicht, insofern schlage ich einfach, die rechte Seite mit der cauchyschen Multiplikation umzuformen.

Gruß MSS

21.11.2006, 19:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lazarus
Interpretiere doch das da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ mal als Geometrische Reihe.

Klarer wird das mit folgendem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} f_n(x) := x^{n+1} \end{eqnarray*}$ sei eine Funktionenfolge auf dem Intervall [-a; a] mit 0 < a < 1. Dann ist die Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} ||f_n|| = a^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Wegen der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}||f_n|| \end{eqnarray*}$ konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen eine Funktion f.

Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f_n'(x) = (n+1) \cdot x^n \end{eqnarray*}$ hat die Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} ||f_n'|| = (n+1) \cdot a^n \end{eqnarray*}$ . Nach dem Quotientenkriterium konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(n+1)a^n \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert auch die Folge der Ableitungen gleichmäßig gegen eine Funktion g und es gilt f' = g.

Daraus folgt nun:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty~x^{n+1} = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum_{n=0}^\infty~(n+1) \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Bilde die Ableitung von f und fertig.

21.11.2006, 19:16

SilverBullet

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Zitat:

Interpretiere doch das da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ mal als Geometrische Reihe.

Hm ok also wenn ich da einfach die Zahlen 0,1,2,3,4,....,n einsetzte erhalte ich :
$\begin{eqnarray*} 1,2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,7x^6,...,(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

Dies sieht ja schon fast wie die geometrische Reihe aus ich muss nur die 1,2,3,4,5,....,(n+1) weg bekommen.

Kann ich das dann so aufschreiben :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~k \sum_{k=0}^n~x^k \end{eqnarray*}$ ?

Damit hätte ich ja zumindest durch die rechte Summe ja schon ein $\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr) \end{eqnarray*}$
Aber wo bekomm ich dann das andere her ?

Edit : @MSS

Zitat:

Zitat:
Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr)\Bigl( \frac {1}{1-x}\Bigr) = \sum_{k=0}^\infty~x^k \sum_{k=0}^\infty~x^k \end{eqnarray*}$

Was Lazarus meint, weiß ich nicht, insofern schlage ich einfach, die rechte Seite mit der cauchyschen Multiplikation umzuformen.

Gruß MSS

Hab das probiert bekomme das aber nicht hin vielleicht liegts einfach daran das ich mit der Cauchymultiplikation von Reihen nicht wirklich klar komme.

Hab mir das mal angeschaut und komme nur bis hier :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~x^k \sum_{k=0}^\infty~x^k = \sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k \end{eqnarray*}$

Bringt mich das weiter ?

21.11.2006, 19:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Kann ich das dann so aufschreiben :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~k \sum_{k=0}^n~x^k \end{eqnarray*}$ ?

Nein, wie auch immer du klammerst, es wird mMn immer falsch.

Zitat:

Original von SilverBullet
Hab mir das mal angeschaut und komme nur bis hier :
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~x^k \sum_{k=0}^\infty~x^k = \sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k \end{eqnarray*}$

Da fehlt aber noch etwas!

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn $\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

21.11.2006, 20:30

SilverBullet

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Zitat:

Was ist denn $\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k \end{eqnarray*}$ ?

Achso wegen der Potenz meinst du ?

Also für eine Potenzreihe müsste ich doch noch den Punkt hinterschreiben in welchem sie absolut konvergiert und das tut sie ja da es in der Aufgabe gegeben ist für den Fall sie sie wie ich zeigen soll gleich sind.

in welchem Punkt konvergiert sie denn absolut ? Müsste doch x^n sein ?

21.11.2006, 20:47

Mathespezialschüler

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Für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~x^k \end{eqnarray*}$

absolut, also kann man das Cauchyprodukt von ihr mit sich selbst bilden. Aber nun zu $\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k \end{eqnarray*}$ . Kann man das evtl. etwas vereinfachen? Tipp: Potenzgestetz!

Gruß MSS

21.11.2006, 21:10

SilverBullet

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Mist ich seh immer noch nicht wodrauf das hinausläuft aber ok step by step.

Also das vereinfachen ist leicht, hab da garnicht drüber nachgedacht aber es gilt :

$\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k = x^n \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 21:18

Mathespezialschüler

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Genau! Und was ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

21.11.2006, 21:54

SilverBullet

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n \end{eqnarray*}$ ?

Stimmt das denn überhaupt so ? x^n ist da ja nur der Größte Summand der Summe... Kann man dann schon behaupten es sei der Wert gegen den die Summe konvergiert ?

21.11.2006, 22:06

Mathespezialschüler

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Wieso nur der höchste? Für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k=x^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

21.11.2006, 22:23

SilverBullet

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Hmm ich muss doch auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

kommen und da ist doch mein $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ drin also brauch ich nur noch mein n+1 irgendwo herzubekommen. Fragt sich nur woher

21.11.2006, 22:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und was ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n \end{eqnarray*}$ ?

Das ist eine Summe einer Konstanten. Wie oft wird die aufsummiert?

Gruß MSS

21.11.2006, 23:39

SilverBullet

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Hmm es gilt zwar : $\begin{eqnarray*} x^{n-k}x^k=x^n \end{eqnarray*}$ .

Aber das heißt doch das mein x nicht mehr von k abhängt sonst würde es ja n mal aufsummiert.

Das einzige was mir da noch einfällt wäre das es unendlich oft aufsummiert wird da:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right) =\sum_{n=0}^{\infty}~x^n \end{eqnarray*}$ .

22.11.2006, 00:03

Mathespezialschüler

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Ich verstehe nicht, was du da machst. Es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n=(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

22.11.2006, 00:08

SilverBullet

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Ja schon aber woher kommt das (n+1)

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

Das versteh ich einfach noch nicht ?!

22.11.2006, 00:35

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} a=x^n \end{eqnarray*}$ . Dann hat man die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n=\sum_{k=0}^n~a=\underbrace{a+a+\ldots+a}_{n+1\text{ Summanden}}=(n+1)a \end{eqnarray*}$ ...

Gruß MSS

22.11.2006, 13:09

SilverBullet

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So frisch aufgewacht und keine Kopfschmerzen und dank deiner Ausführung ist das nun echt klar =) Danke

22.11.2006, 14:34

unwissender Mathestudent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich verstehe nicht, was du da machst. Es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x^n=(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~(n+1)x^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

d.h. das is der komplette Beweis? Wonach gilt denn das?
$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right) \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 15:59

SilverBullet

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Schau dir nochmal den kompletten Threat an, hier steht eigentlich alles drin Big Laugh

22.11.2006, 16:03

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

10.12.2006, 00:38

gast101

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Hi!

Also mir sind die Umformungen soweit alle klar, aber wo liegt denn eigentlich der Unterschied darin, ob ich bei der Cauchy-Produktformel

Zitat:

Original von SilverBullet

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}~x^k\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^{n-k}x^k\right) =\sum_{n=0}^{\infty}~x^n \end{eqnarray*}$ .

nun n und k als Potenz oder wie bei wikipedia, oder so wie wir es auch in der Vorlesung gemacht haben, als Index schreibe?

verwirrt

10.12.2006, 01:05

Mathespezialschüler

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Im allgemeinen Fall ist es immer der Index! D.h. für die beiden absolut konvergenten Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~b_n \end{eqnarray*}$

ist das Cauchyprodukt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^{\infty}~a_n\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty}~b_n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~a_kb_{n-k}\right) \end{eqnarray*}$ .

In diesem Thread ging es nur um einen Spezialfall, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_n=b_n=x^n \end{eqnarray*}$ .

Du darfst also beim Cauchyprodukt nicht die Indizes auf einmal in die Exponenten packen, sodass Potenzen entstehen!

Gruß MSS

10.12.2006, 01:29

gast101

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Das heißt also, sobald ich mich auf eine Reihe mit Exponenten wie hier x^n beziehe, muss ich die Indizes aus der allgemeinen Definition IMMER als Exponenten schreiben?

10.12.2006, 01:35

Mathespezialschüler

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Naja. An sich schreibst du IMMER Indizes. Das machst du auch in diesem Fall: Für $\begin{eqnarray*} a_n=b_n=x^n \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^{\infty}~a_n\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty}~b_n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~a_kb_{n-k}\right) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt setzt man einfach ein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~a_kb_{n-k}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}~\left(\sum_{k=0}^n~x^kx^{n-k}\right) \end{eqnarray*}$ .

Bei jedem anderen Cauchyprodukt würde man doch die Glieder auch einsetzen! Und dass sich in diesem speziellen Fall Potenzen ergeben, ist einfach Zufall und hängt von den Gliedern der beiden Reihen ab.

Gruß MSS

10.12.2006, 11:53

gast101

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Klar, is ja auch logisch!

Danke nochmal!

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