Bilinearformen

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Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearformen
Hallo! Wink

Ich nenn mal einfach die Aufgabenstellung und dann meine Ansätze:

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und eine alternierende Bilinearform, d.h. .
(K ist natürlich irgendein Körper.)

a) Zeige, dass:



ein Untervektorraum von der Menge aller Bilinearformen ist und bestimmen Sie .



Mein Ansatz:

Zu zeigen, dass es ein UVR ist war kein großes Problem, aber wie bestimme ich nun die Dimension?
Meine Idee war es eine Basis zu erstellen, die ganz erzeugt und deren Elemente linear unabhängig sind.
Aber wie finde ich so eine Basis?

Wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearformen
Hallo Evelyn,

Bilinearformen lassen sich prima mittels einer Matrix darstellen. Für alle gibt es eine Matrix (bzgl. einer gewissen Basis von ), so dass ist.
Damit solltest Du die Basis für leicht finden können.

Gruß,
Reksilat.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah , das ist eine gute Idee.
Ich werds mal gleich damit versuchen.

Aber wenn ich die Bilinearformen mit Hilfe von Matrizen darstelle muss mein Vektorraum V doch endlich-dimensional sein oder?
Das wurde hier ja leider nicht vorausgesetzt.
Meinst du das ist ein Problem?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst Du den unendlich-dimensionalen Fall eben separat behandeln.
Dazu muss man eben etwas anders rangehen, aber eigentlich ist es ja naheliegend, was die Dimension von dann ist.
Augenzwinkern
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs jetzt mal versucht.

Es ging ja darum zu bestimmen.

Wenn wir erstmal davon ausgehen, dass gilt, dann kann ich meine Bilinearform darstellen als:

.

Da nach Voraussetzung alternierend ist, kann ich folgendes folgern:

.

Das heißt doch, dass S eine orthogonale Matrix sein muss oder?

Im weiß ich, dass es die Drehmatrix und Spiegelungsmatrix sind mit den Winkeln .

Ist das soweit richtig?

Aber wie verallgemeinere ich das auf den ?

Ich bräuchte dann ja eigentlich nur noch die Dimension von der Menge der Orthogonalmatrizen , oder?

Kann ich die Menge aber nicht durch die Dreh- und Spiegelungsmatrizen charakterisieren? Hmmm.... Ich komme hier irgendwie nicht weiter... verwirrt
Wäre wirklich toll, wenn mir jmd weiterhelfen könnte.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da nach Voraussetzung alternierend ist, kann ich folgendes folgern:

.

Das heißt doch, dass S eine orthogonale Matrix sein muss oder?

Nein. Du hast hier doch kein Skalarprodukt (welches eh nur für Vektrorräume über oder definiert ist) und Deine Bilinearform hat damit auch überhaupt nix zu tun.

Mache Dir erst mal die Beziehung zwischen Basen von V, Matrizen S und Bilinearformen klar. Dann wirst Du auch sehen, welche Matrizen zu alternierenden BLF gehören.
Suche auch erst mal nach einer Basis von ganz , dann wirst Du auch leicht eine Basis für finden.
 
 
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh shit! Hab das total übersehen mit dem Skalarprodukt Hammer

Also, wenn ich über eine Basis von nachdenke , brauche ich ja wegen die richtigen Matrizen dazu.

Ich muss also sicherstellen, dass der Ausdruck eine Basis bildet. Dabei kann ich mir ja die x,y wegdenken. Also läuft das doch darauf hinaus die passenden Matrizen zu finden.
Ich habe aber echt keine Ahnung welche das sein können und erst recht nicht wieviele... ?? verwirrt
Komme wirklich nicht weiter.


P.S.: Ist denn die Idee mit den Orthogonalmatrizen bei den alternierenden Bilinearformen richtig??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mit Orthogonalität hat das nichts zu tun. - Wie gesagt, es existiert kein Skalarprodukt und das wird für Orthogonalität nun mal benötigt.

Interpretieren wir den Vektorraum doch mal als mit Standardbasis (was V ja bis auf Isomoprhie auch ist).
Nun kannst Du Dir überlegen, dass man durch Festlegung der Bilder für alle bereits die BLF eindeutig festlegen kann und dass man so alle möglichen BLF auch beschreiben kann.
Aufschreiben kannst Du die BLF dann als Matrix und damit siehst Du dann auch .

Jede BLF entspricht also genau eine Matrix. Der Vektorraum der BLF ist also isomorph zum Vektorraum der nxn-Matrizen und für Dein musst DU noch schauen, welche der Matrizen zu alternierenden BLF gehören.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei S eine zu einer alternierenden Bilinearform gehörende Matrix. Du hast ja schon ganz richtig erkannt, dass dann



gilt. Zeige nun, dass daraus auch



folgt. Dann hast du also



Setze dort nun die Einheitsvektoren für x ein. Was folgt daraus für die Einträge der Matrix S? Wenn du die Bedingung aufgestellt hast, musst du noch sicherstellen, dass diese auch hinreichend ist. Nun sollte es nicht mehr schwer sein, eine Basis - und damit auch die Dimension - zu finden.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals für die Hilfestellung. Freude

Wir haben das Problem ja (aus Isomorphiegründen) darauf zurückführen können, dass die Matrizen erfüllen.

Durch Transponieren auf beiden Seiten erhalten wir die 2. Bed.:



Nehmen wir nun die Einheitsvektoren und setzen ein, so ergibt eine kleine Rechnung, dass die Diagonalelemente sein müssen.

Ich denke aber nicht, dass diese Bedingung hinreichend ist.
Da ich ein wenig mit Matrizen rumgespielt habe, schöpfe ich den Verdacht, dass S außerdem noch anti-symmetrisch sein muss, also

Der Prof hatte in der Vorlesung gezeigt, dass .

Wenn ich mal für den 1. Fall davon ausgehe, dass gilt, so erhalte ich ja noch die weitere Bedingung .

Ich denke das wäre dann auch alles, was ich durch einsetzen und ausmultiplizieren auch zeigen können müsste. (Werd ich gleich nachrechnen)

In diesem Fall wäre dann , weil genau soviele Elemente in der Matrix frei wählbar sind.

Aber was ist denn nun, wenn ist?
Dann haut das alles ja irgendwie nicht mehr hin...... verwirrt
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Sind meine Überlegungen bis jetzt korrekt?

Wenn das alles soweit in Ordnung ist, muss ich nur noch den Fall prüfen, wenn char(K)=2 ist und wenn ist.

Anhand der Formel n(n+1)/2 erkennt man ja leicht, dass aus folgt:

Aber auch hier ist das Problem mit char(K)=2 ...... unglücklich

Ich glaube, dass der Fall viel einfacher ist, aber irgendwie steh ich voll auf dem Schlauch.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Antisymmetrie stimmt schon. smile

Die Frage ist nun aber, wo bei Dir ein Problem mit der Charakteristik auftaucht. Eine Fallunterscheidung macht man doch nur, wenn sie irgendwo nötig ist.

Oder willst Du einfach nur das Zitat von Deinem Prof verwenden? Da steht doch aber bisher nichts von Matrizen.
Zudem sieht man das mit der Antisymmetrie ja auch direkt, wenn man mal sowas wie betrachtet.

Gruß,
Reksilat.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja ! Mein Gott bin ich blöd! Hammer

Die eine Richtung gilt ja immer! Tanzen

Hab dir eine PN hinterlassen. Die kannst du ignorieren.

Vielen Dank an alle für die Hilfe! Freude
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine letzte Frage zu diesem Thema.

Warum ist die Dimension denn gerade die Anzahl der frei wählbaren Matrixelemente?

Also es war für mich das naheliegendste, deswegen habe ich das so gemacht, aber wirklich begründen könnte ich das nicht.

Mir ist klar, dass der die Menge der mxn- Matrizen die Dimension m*n hat.

Aber wieso verringert sich die Dimension, wenn ich einige Elemente der Matrix festlege?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst eine Basis angeben. Augenzwinkern

Es ist nicht schwer, hier ein paar elementare Matrizen (also jeweils mit sehr vielen Nullen und nur zwei nichttrivialen Einträgen) anzugeben, mit denen man auf einfache Weise jede antisymmetrische Matrix darstellen kann und die noch dazu linear unabhängig sind.

Für jeden frei wählbaren Parameter gibt es eine kanonisch zugeordnete Matrix in dieser Basis.

Gruß,
Reksilat.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! Danke dir!
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