Geschwindigkeit und Beschleunigung, Anfangszeit, Anfangsgeschwindigkeit etc.??

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04.01.2011, 02:24	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschwindigkeit und Beschleunigung, Anfangszeit, Anfangsgeschwindigkeit etc.?? Meine Frage: Ich muss in Mathe mein Fachreferat über die Geschwindigkeit und Beschleunigung halten. Jetzt hab ich mich in das Thema eingearbeitet und versteh bis jetzt auch alles ganz gut. Nur eine Sache macht mir schwer zu schaffen. Ich muss die Mittlere Geschwindigkeit und mithilfe von Differenzenquotienten ausrechnen. Formel dazu lautet ja v= s(t)-s(t0) _________ t - t0 (jedenfalls lautet laut Buch die Formel so). Jetzt hab ich das mal anhand eines Beispiels probiert. Ein Auto fährt eine Stunde lang mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h und eine weitere Stunde mit 80 km/h. Berechnen Sie die Mittlere Geschwindigkeit. Meine Ideen: Ich hab jetzt versucht die Angaben einfach in die Formel einzusetzen, aber bei mir kommt nur Käse raus . Ich weiß einfach nicht, was jetzt t0, was t oder s0 oder s oder v0 oder v sein soll . Zu welchem Zeitpunkt gilt denn t0 und t und das ganze Zeug? Ich hoffe irgendjemand kann mir helfen. Emilia
04.01.2011, 03:23	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} s(t) \end{eqnarray}$ ist die Funktion für die zurückgelegte Stecke. t steht hier für den Zeitpunkt. $\begin{eqnarray} v = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} \end{eqnarray}$ ist dann die gesuchte Durschnittsgeschwindigkeit.
04.01.2011, 14:11	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir schon klar. Aber was sind denn t0 und t für Zeitpunkte?
04.01.2011, 14:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
t ist ein laufender (beliebiger) Zeitpunkt im betrachteten Intervall, t0 ist eine fixe Stelle, an welcher bzw. für welche der Differenzen-/Differential- Quotient zu berechnen ist. Bei deinem Besipiel handelt es sich um ein Zeitintervall von 2 Stunden. Dazu musst du zunächst aus den beiden Angaben noch den gesamten zurückgelegten Weg berechnen und für diesen und die 2 Stunden Zeitunterschied die mittlere Geschwindigkeit ermitteln. mY+
04.01.2011, 15:43	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist t0 der Anfangspunkt der Messung? Wäre t0 bei meiner Aufgabe dann 0? Oder nicht? Ich hab mal versucht die Aufgabe ein bisschen graphisch darzustellen. So wie ich t0, t, s0, s, v0 und v zugeordnet hab kanns aber nicht sein oder?
04.01.2011, 16:13	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mYthos gerade nicht online ist, mache ich mal kurz weiter. $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ kannst du in deinem Beispiel als 0 ansehen. $\begin{eqnarray} v_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_0 \end{eqnarray}$ kannst du ebenfalls als 0 ansehen. Der Grund dafür ist vielleicht gar nicht so offensichtlich. Um bei deinem Beispiel zu bleiben: Wir interessieren uns nur für die Werte nach $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ . Wie weit und schnell das Auto vor diesem Zeitpunkt gefahren ist, spielt für uns keine Rolle. Also definieren wir uns einen Startpunkt $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ zu dem das Auto noch keinen Meter gefahren ist. Nun soll das Auto eine Stunde lang mit 120 km/h fahren. Betrachte die eine Stunde mal als den Abschnitt von $\begin{eqnarray} t_1 - t_0 \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} t_0 = 0 \end{eqnarray}$ . Für diesen Zeitraum berechnest du dann (wie du es ja bereits getan hast) die Strecke $\begin{eqnarray} s_1 = 120 000m \end{eqnarray}$ . Nun betrachtest du den Abschnitt $\begin{eqnarray} t_2 - t_1 \end{eqnarray}$ . Also den Abschnitt ab dem Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ bis zum Zeipunkt $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ . Dies ist in deinem Beispiel die zweite Stunde. Wir wissen: $\begin{eqnarray} t_1 = 3600s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_2 = 7200s \Rightarrow t_2 - t_1 = 3600s \end{eqnarray}$ . Dies hast du aus deiner Intuition heraus bereits richtig gemacht. Allerdings war der mathematische Grund dafür vielleicht nicht ganz klar. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} s(t_2) \end{eqnarray}$ nun die Gesamtstrecke ist, die das Auto in den zwei Stunden zurückgelegt hat. Also $\begin{eqnarray} s(t_2) = 200000m \end{eqnarray}$ . Wenn wir uns nun für die Durschnittsgeschwindigkeit im Zeitraum von $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ interessieren, wenden wir deine Formel an: $\begin{eqnarray} v_{t_0}(t_2) = \frac{s(t_2) - s(t_0)}{t_2 - t_0} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das einigermaßen verständlich ist. Ich weiß, dass es relativ kompliziert aussieht, aber wenn du das mit ein paar Beispielen durchrechnest, sollte die Idee klar werden. Eine Übung zum Denken wäre Zum Beispiel: Überlege mal wie du $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ verändern musst, um die Durschnittsgewschwindigkeit vom Start des Autos bis zur Minute 90 auszurechnen.
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04.01.2011, 19:18	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also nachdem was du geschrieben hast Grouser denk ich hab ichs einigermaßen gecheckt. Hab als Mittlere Geschwindigkeit 100 km/h rausbekommen. Aber ist t0 eigentlich immer 0? Ich hab mir mal ne weitere Aufgabe zusammengeschustert. Ich berechne also die Mittlere Geschwindigkeit im Intervall [t0;t]. Diesmal ist das Auto vorher schon 50 Kilometer gefahren. Und nach dem Zeitpunkt t fährt es auch nochmal 40 Kilometer. (Ich hoffe das wird in der "Zeichnung" ersichtlich.) Ist t0 da immer noch 0? Oder 45 Minuten bzw. 2700 Sekunden? Wenn t0 nicht mehr 0 wäre würde sich somit ja auch s0 und v0 verändern.
04.01.2011, 19:28	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... Das Beispiel ist ganz gut, um zu verdeutlichen wo das eigentliche Problem liegt (bzw um zu zeigen, dass es kein Problem ist). So wie du es gezeichnet hast, ist $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ immer noch 0. Allerdings meinst du etwas anderes. Du gehst von diesem Problem aus: Ein Auto fährt: - in den ersten 45 Minuten 50km - in den darauf folgenden 20 Minuten 30km - in den darauf folgenden 15 Minuten 20km - und in den darauf folgenden 30 Minuten 40k.m Wie hoch war seine Durschnittsgewschwindigkeit zwischen Minute 45 und 80 ? Hierbei ist dann $\begin{eqnarray} t_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s(t_0) \neq 0 \end{eqnarray}$ wie du schon richtig vermutet hast. Am besten versuchst du diese Aufgabe erst einmal selbst zu lösen, um mit der Materie vertrauter zu werden.
04.01.2011, 20:13	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Aah ok ich denke so langsam versteh ichs. Wenn also die Mittlere Geschwindigkeit im Intervall [Fahrzeug fährt los;Fahrzeug ist am Ziel] bestimmen soll, dann ist t0=0. T ist dann die gesamte Zeit in der die Mittlere Geschwindigkeit ermittelt werden soll. Wenn aber der Anfangspunkt t0 mittendrin in der Fahrtstrecke liegt, dann ist t0 eben da wo angefangen wird die Mittlere Geschwindigkeit zu bestimmen. Oder? Und t ist dann aber nicht nur die Zeit von t0 an bis t sondern vom Punkt aus, von dem das Fahrzeug losfährt.... AHA! Dann hätte ich gesagt: t0= 45 Min. = 2700 s s0=50 000 Meter v0=18,51 m/s (obwohl v0 hier ja eigtl keine Rolle spielt..) t=90 Min.=5400 s s=100 000 m v= eineZahlaberichbinzufaulalsdassichdiejetztausrechne Als Mittlere Geschwindigkeit hab ich dann v=18,52 m/s=66,67 km/h rausbekommen. Ist es Zufall, dass ich das selbe Ergebnis bekommen hab also ich für s(t0)=0 und t0=0 gesetzt hab? Gut ich denke ich habs geschnallt. Danke auf jeden Fall .
04.01.2011, 20:21	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann gerade nicht ganz nachvollziehen welche Aufgabe du da gerechnet hast... Sieht nicht danach aus als wäre es meine
04.01.2011, 22:14	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wie deine?^^ Ich hab die gerechnet, die ich da aufgezeichnet hab. Aber kannst du mir in meinem Grundgedanken zustimmen?
04.01.2011, 22:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhhm ... Grouser hat Recht. WAS hast bzw. willst du wirklich berechnen? Nach deiner Zeichnung: In 25 Minuten fährt das Fahrzeug 50 km (-> Rote Strecke). Der Rest ist ein einfacher Dreisatz ... mY+
04.01.2011, 22:35	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab in die Zeichnung nicht alle Zeiten, Wege und Geschwindigkeiten reingeschrieben, wie ich auf diese komm, weiß ich schon^^. Ich hab die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 45. und 90. Minute ausgerechnet.
04.01.2011, 23:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist die Schwierigkeit? Stelle dir die Frage, wieviel km er in diesen 45 Minuten gefahren ist. Dann dividiere .. und fertig. Wenn du nicht alles in deine Zeichnung einträgst, wie sollen wir dir dann helfen bzw. kontrollieren können, WAS, WIE und OB du richtig gerechnet hast. mY+
04.01.2011, 23:45	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung. Ein Auto fährt also eine Strecke von 140 km/h in 2h. Diese Strecke fährt es aber nicht mir der selben Geschwindigkeit. Die ersten 50km fährt es mit v=18,51 m/s mit einer Zeit von 45 Minuten,also 2700 Sekunden. Die nächsten 30km mit v=25 m/s mit einer Zeit von 20 Minuten, also 1200 Sekunden. Die nächsten 20km mit v= 13,33 m/s mit einer Zeit von 25 Minuten, also 1500 Sekunden. Die letzten 40km fährt es mit v=22,22 m/s in 30 Minuten also 1800 Sekunden. Ich möchte die Mittlere Geschwindigkeit zwischen der 45. und 90. Minute ausrechnen. Mit dem Differenzenquotient $\begin{eqnarray} v=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} \end{eqnarray}$ für s(t) hab ich 100 000 m (s1+s2+s3) und für s(t0)=50 000m (s1) gesetzt. für t hab ich 5400 s (t(s1) + t(s2) + t(s3)) und für t0=2700 s gesetzt. also: $\begin{eqnarray} v=\frac{100 000m - 50 000m}{5400s - 2700s} \end{eqnarray}$ und als Ergebnis $\begin{eqnarray} v=18,52 m/s \end{eqnarray}$ rausbekommen. (Ich hab die Zeichnung nochmal neu gemacht.)
05.01.2011, 00:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist so richtig! ___________ Kontrolle: Für 50 km braucht er 45 Minuten. s2 + s3 = 50km, t2 + t3 = 45 Minuten = 3/4 Stunden. v ist dann 50*4/3 km/h = 66,67 km/h = 18,52 m/s mY+
05.01.2011, 00:55	Emilia*	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, jetzt bin ich ein ganzes Stück weiter .

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