Ähnlichkeit von Diagonal und Elementarmatrizen

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Martin L Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit von Diagonal und Elementarmatrizen
Moin Moin,

wir sollen zeigen, dass über einem beliebigen Körper, eine Elementarmatrix nie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.

Ich glaub aber ich habe da ein Verständnisproblem. Ich finde nämlich ein Beispiel in dem das passt.

Die Definition für Ähnlichkeit ist ja:
sind ähnlich, wenn es ein gibt mit

jetzt habe ich mir erstmal eine Elementarmatrix von Typ 1 gewählt:


Das ist ja, wenn ich es richtig verstanden habe, auch eine diagonalmatrix, also wähle ich:


Jetzt brauche ich ein Q aus der allgemeinen linearen Gruppe. Da nehme ich die 2x 2 Einheitsmatrix, welche ja prima zu invertieren ist.

und dann ist klar:


Wenn ich jetzt aber

ausrechne, dann passt das doch. Damit würde ja ein Q existieren, damit wäre eine Elementarmatrix zu einer Diagonalmatrix ähnlich und damit stehe ich vor einem Rätsel.

Ich hoffe ihr könnt mich etwas enträtseln

Gruß
Martin
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt wohl an der Definition, was Elementarmatrix ist. Ich weiß nicht, ob das ein allgemeingültiger "mathematikweiter" Begriff ist oder ob er vom Kontext abhängt. Im Zweifel solltest du die Aufgabe so lösen, wie sie gemeint ist, und nicht, wie sie formuliert ist. Vielleicht soll ja gerade der Typ 1 ausgeschlossen sein, und es wurde nur vergessen, das hinzuschreiben.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so hätte ich es im zweifel auch gemacht, ich wollte nur sichergehen, dass ich nicht einfach etwas falsch Verstanden habe. Da geh ich nämlich immer zuerst von aus, wenn ich ne Aufgabe nicht lösen kann :-D.

Gruß
Martin
Matrizenheini Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du bist an derselben Uni wie ich.

Wir haben Elementarmatrizen so definiert, dass das "a" nicht auf der Diagonalen sein darf.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich nicht an derselben Uni wie du.

Essen? Lineare Algebra I? Ich bin mir sehr sicher, dass wir den Typ1 schon in der Vorlesung benutzt haben und auch Elementarmatrix genannt haben.

Gruß
Martin
Matrizenheini Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, LinA I in Essen. Wir hatten bis jetzt nur diesen Typen, der das a-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile dazuaddiert (bzw. analog für Spalten). Da hatten wir gesagt:

Diese Matrix ist , also darf das a nicht auf der Diagonalen stehen.
 
 
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben aber nachher auch noch Matrizen vom Typ1 gemacht. Bei mir ca eine Seite später. da schreiben wir dann Matrizen von bestimmter Form als Produkt von Elementarmatrizen vom Typ1.

Außerdem, wenn du dir mal die Hausaufgabe 1 anguckst, da soll man ja die Matrix als Produkt von Elementarmatrizen schreiben. Das fällt schwer ohne Typ1 Elementarmatrizen oder?

Also ich hab da zwei Elementarmatrizen vom Typ1 genommen.

Gruß
Martin
Matrizenheini Auf diesen Beitrag antworten »

Unser Professor hat da in diese Elementarmatrizen "Blöcke" geschrieben, sodass man nicht sieht, ob da tatsächlich ein "a" auf der Diagonalen steht. Jedenfalls haben wir in der Definition festgehalten, dass , also kein a auf der Diagonalen. Wenn du das so machst, kriegst du für Aufgabe 1 vier Elementarmatrizen im Sinne dieser Definiton. Und Aufgabe 2 lässt sich dann auch bewältigen, bzw ist mit dieser Definition lösbar. Und Johannes sagte, dass die Aufgabe mit unserer Definiton lösbar ist (ist sie auch, denn ich habe sie gelöst, siehe ein paar Themen unter diesem hier).
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann mach ich das mal so. geht ja anders auch nicht. Dann danke dafür, dass du mich aufgeklärt hast. Muss ich mir auch direkt ne Notiz im Buch machen, dass wir den Typ1 nicht hatten.

Gruß
Martin
Matrizenheini Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Definition ist äquivalent zu Zeilenumformungen vom Typ I. Wir hatten damals doch festgelegt, als wir den Gauß-Algorithmus gemacht haben:

Typ I: Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren. Und das ist genau der Fall, wenn die Elementarmatrix das a irgendwo außerhalb der Diagonalen hat (lies dafür nochmal den Absatz unterhalb der Definition durch).

Typ II und III waren dann das Vertauschen zweier Zeilen und eine Zeile zu vervielfachen, also mit einem Skalar zu multiplizieren. Die dazugehörigen Matrizen hatten wir noch nicht.
Mathelotte Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

gehe auch auf eure Uni und sitze an der Aufgabe!
Aber ich muss ehrlich sagen, dass ich gerade ziemlich auf dem Schlauch stehe, da ich zunächst einmal zu der E_ij (a) eine Matrix addiere, die ein a auf der Diagonale hat. Das ist wahrscheinlich ziemlich falsch, kann mir da aber leider gerade nichts anderes aus dem Kopf ziehen.

Vielleicht kann mir ja jemand ein Stichwort geben.

Lieben Gruß
EpsilonKleinerNull Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau addierst du denn? Das Prinzip ist doch, dass du bei der Multiplikation mit dieser Elementarmatrix von links das a-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile addierst. Da a darf dabei nicht auf der Diagonalen stehen.

Wenn du die Gleichung für die Ähnlichkeit mal umstellst, erhältst du



Jetzt schreib dir mal auf, wie wohl diese beiden Produkte aussehen.

Und meinst du mit der Addition, dass die Elementarmatrix die Summe aus Einheitsmatrix und einer Matrix, die genau einen Eintrag a hat und alle anderen Einträge 0? Dann darf dieses a nicht auf der Diagonalen stehen.
Mathelotte Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, da hab ich mich wohl im Wort ganz arg vertan. Natürlich multipliziere ich zu der E_ij (a) eine Matrix.. und um darauf zu kommen, dass das a von dem i-j-ten Eintrag in die Diaginale rutscht, habe ich mit einer Matrix multipliziert, die das a auf der Diagonale hat.
Das wiederrum ist aber keine Elementarmatrix...
Ich weiß also nicht, wie ich bei dieser 2 kreuz 2 Matrix ohne eine o.g. Matrix dahin komme, dass das a in die Diagonale rutscht.
EpsilonKleinerNull Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Matrizen, mit denen das E_ij(a) multipliziert wird, müssen auch keine Elementar-, sondern lediglich invertierbare Matrizen sein. Wenn du dir die von mir genannte äquivalente Darstellung betrachtest, multiplizierst du zwar nur mit einer Matrix, auf der anderen Seite muss aber nicht notwendigerweise eine Diagonalmatrix sein.
Außerdem ist das in der Aufgabe nicht gefordert. Es geht doch darum, dass du für beliebige Elementar- und Diagonalmatrizen beliebiger Größe etwas zeigen sollst. Da reicht es nicht, wenn du für 2x2-Matrizen argumentierst (und überhaupt: dein Ansatz würde ja gerade zeigen, dass sie eben doch ähnlich sind, wenn du besagte Matrix findest). Es geht gerade darum, dass du einen Widerspruch findest. Für diesen solltest du erstmal ausrechnen, wie so eine nxn-Matrix denn aussieht auf beiden Seiten (also mit den Bezeichnungen aus dem Startpost: Wie sieht QB und AQ aus?).

Damit ist es dann möglich, dass du durch geschickte Betrachtung einiger Koeffizienten einen Widerspruch ableitest.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich hab mich noch mal drangesetzt und weiter gemacht aber ich seh den Widerspruch nicht so richtig.

Also,

A = Diagonalmatrix mit den einträgen i geht von 1 bis n
B = Elementarmatrix mit einem Eintrag außerhalb der Diagonalen ungleich 0
Q = invertierbare Matrix mit den Einträgen

Dan hab ich die Gleichung umgestellt nach


Dann hab ich die Produkte ausgerechnet:



Jetz das zweite Produkt:



jetzt muss man ja zeigen, dass die nicht gleich sein können.
Zuerst mal hab ich ausgeschlossen, dass alle weil dann wäre Q ja nicht mehr invertierbar.
Aber jetzt komm ich nich weiter, mir fällt nicht ein, wie man die gleich bekommen sollte, aber mir fällt auch kein wirklicher Widerspruch auf.

Ich hoffe ihr habt da nen Tipp.

Gruß
Martin
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